Question

Cho a, b, c là các số thực không âm (a > c; b > c). CM:

\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)

Answer 1

Em nghĩ đề phải là \(\sqrt{c\left(a-c\right)}-\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}< 0\) chứ? Và em cũng không chắc đâu. Em mới biết sơ sơ về BĐT thôi. Nên nếu sai thì thông cảm cho em ạ

Từ đề bài suy ra \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab>ac+bc-c^2\)

Lại có \(ab>c\left(a-c\right)+bc>c\left(a-c\right)\) (do b và c không âm)

Suy ra \(\sqrt{c\left(a-c\right)}< \sqrt{ab}\)(1). Lại có: \(ab>ac+\left(bc-c^2\right)\)

\(=ac+c\left(b-c\right)>c\left(b-c\right)\Rightarrow\sqrt{c\left(b-c\right)}< \sqrt{ab}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(VT< \sqrt{ab}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=-\sqrt{ab}\le0\)

Do vậy VT < 0 ta có đpcm.