Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\)

Dấu "=" xr khi \(\sqrt{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2+2=1\left(vn\right)\)=> dấu "=" ko xra

=> \(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\forall a\)

Chị check thử câu trả lời của em bên h xem sao ạ (nếu ko truy cập được xin ib ạ,em gửi full link): 

Câu hỏi của Đừng gọi tôi là Jung Hae Ri - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{a^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)

Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:

a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)

\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng

b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)

\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2:

a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Câu 3:

a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)

\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)

\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Câu 4:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)

Câu 5: Biến đổi tương đương:

\(\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+2abcd+\left(cd\right)^2\le\left(ab\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(cd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ad\right)^2-2ad.bc+\left(bc\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 } 
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình  làm  ra rùi chụp cho (:

BĐT trên chỉ đúng với ab=>1 mà lm gì có ở đề 

em đã thử tương đương mà không ra 

a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)

<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)

<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)

<=> \(a^2-20a+100\ge0\)

<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Dấu "="xảy ra <=> a=10

=> (1) đc CM

b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có

\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=0

a/ Bình phương 2 vế:

\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ Bình phương:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)