1) a) giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x}+y^2=3\\3\sqrt{x}+2y^2=1\end{matrix}\right.\)
2) giải phương trình
\(x^2+4x-7=\left(x+4\right)\sqrt{x^2-7}\)
Giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-4x^2+3x-1=2x^3\left(2-y\right)\sqrt{3-2y}\\\left(\sqrt{x\sqrt{3-2y}-\sqrt{x}}\right)^2\left(\sqrt{x\sqrt{3-2y}+2}+\sqrt{x+1}\right)=4\end{matrix}\right.\)
bài này mình chưa giải dc triệt để ở cái cuối
\(2x^3-4x^2+3x-1=2x^3\left(2-y\right)\sqrt{3-2y}\) \(\left(y\le\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^3-8x^2+6x-2=2x^3\left(4-2y\right)\sqrt{3-2y}\left(1\right)\)
\(đặt:\sqrt{3-2y}=a\ge0\Rightarrow a^2+1=4-2y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow4x^3-8x^2+6x-2=2x^3.\left(a^2+1\right)a\)
\(\Leftrightarrow4x^3-8x^2+6x-2-2x^3\left(a^2+1\right)a\)
\(\Leftrightarrow-2\left(xa-x+1\right)\left[\left(xa\right)^2+x^2a+2x^2-xa-2x+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x.a-x+1=0\Leftrightarrow x\left(a-1\right)=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{a-1}\)
\(\left(\sqrt{x\sqrt{3-2y}-\sqrt{x}}\right) ^2=x\sqrt{3-2y}-\sqrt{x}\)
\(=\dfrac{-a}{a-1}-\sqrt{\dfrac{-1}{a-1}}\)
\(\left(\sqrt{x\sqrt{3-2y}+2}+\sqrt{x+1}\right)=\sqrt{\dfrac{-a}{a-1}+2}+\sqrt{\dfrac{a-2}{a-1}}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{-a}{a-1}-\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{-a}{a-1}+2}+\sqrt{\dfrac{a-2}{a-1}}\right)-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{a}{a-1}-\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\right).2\sqrt{\dfrac{a-2}{a-1}}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{a}{a-1}-\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\right)\sqrt{\dfrac{a-2}{a-1}}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(-1+\dfrac{-1}{a-1}-\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\right)\sqrt{1-\dfrac{1}{a-1}}=2\)(3)
\(đặt:1-\dfrac{1}{a-1}=u\Rightarrow\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}=\sqrt{u-1}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left(u-2-\sqrt{u-1}\right)\sqrt{u}=2\)
bình phương lên tính được u
\(\Rightarrow u=.....\Rightarrow a\Rightarrow y=...\Rightarrow x=....\)
Với \(x=0\) không phải nghiệm
Với \(x>0\) chia 2 vế cho pt đầu cho \(x^3\)
\(\Rightarrow2-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}=2\left(2-y\right)\sqrt{3-2y}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{x}+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^3=\sqrt{3-2y}+\sqrt{\left(3-2y\right)^3}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t+t^3\Rightarrow f'\left(t\right)=1+3t^2>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{x}=\sqrt{3-2y}\)
Thế vào pt dưới:
\(\left(\sqrt{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)-\sqrt{x}}\right)^2\left(\sqrt{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)+2}+\sqrt{x+1}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x}-1\right)\sqrt{x+1}=2\)
Phương trình này ko có nghiệm đẹp, chắc bạn ghi nhầm đề bài của pt dưới
... giải ra \(1-\dfrac{1}{x}=\sqrt{3-2y}\)
Thế xuống pt dưới:
\(\left(\sqrt{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)+2}\right)^2\left(\sqrt{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)+2}+\sqrt{x-1}\right)^4=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^4=4\)
Có vẻ đề bài vẫn sai
Do \(x\ge1\) theo ĐKXĐ nên \(x+1\ge2\) ; \(\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^4\ge\left(\sqrt{2}+0\right)^4=4\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^4\ge8>4\) nên pt vô nghiệm
1) Giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xy-4x+2y=2\\x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=4\end{matrix}\right.\)
2) Giải phương trình
\(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)
3) Tính giá trị của biểu thức
\(A=2x^3+3x^2-4x+2\)
Với \(x=\sqrt{2+\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1\)
4) Cho x, y thỏa mãn:
\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-y}\)
Chứng minh \(x=y\)
Câu 4:
Giả sử điều cần chứng minh là đúng
\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:
\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)
Vậy điều cần chứng minh là đúng
2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)
⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)
⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)
⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)
⇔ x = 5
Vậy S = {5}
Bài 1:
ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$
$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$
Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$
$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:
$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:
$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$
Giải hệ phương trình:
1. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+2\sqrt{-1}=5\\4\sqrt{x}-\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x-1}-\sqrt{2y+1}=1\\2\sqrt{3x-1}+3\sqrt{2y+1}=12\end{matrix}\right.\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}=3\\2\sqrt{x-2}-3\sqrt{y-3}=-4\end{matrix}\right.\)
4. \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+1}-3\sqrt{-2}=5\\4\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=17\end{matrix}\right.\)
2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x-1}-\sqrt{2y+1}=1\\2\sqrt{3x-1}+3\sqrt{2y+1}=12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{3x-1}-2\sqrt{2y+1}=2\\2\sqrt{3x-1}+3\sqrt{2y+1}=12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5\sqrt{2y+1}=-10\\\sqrt{3x-1}-\sqrt{2y+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2y+1}=2\\\sqrt{3x-1}-2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y+1=4\\3x-1=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y=3\\3x=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10}{3}\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
3) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}=3\\2\sqrt{x-2}-3\sqrt{y-3}=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y-3}=6\\2\sqrt{x-2}-3\sqrt{y-3}=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y-3}=10\\\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{x-2}+2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-3=4\\x-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=7\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình sau\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{2}-1\right)x+2y=1\\4x-\left(\sqrt{2}+1\right)y=3\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)x+2(\sqrt{2}+1)y=\sqrt{2}+1\\ 8x-2(\sqrt{2}+1)y=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2(\sqrt{2}+1)y=\sqrt{2}+1\\ 8x-2(\sqrt{2}+1)y=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 9x=7+\sqrt{2}\) (cộng 2 vế của PT)
\(\Rightarrow x=\frac{7+\sqrt{2}}{9}\)
\(y=\frac{1-(\sqrt{2}-1)x}{2}=\frac{7-3\sqrt{2}}{9}\)
Vậy..............
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}+2)x+y=3-\sqrt{5}\\-x+2y=6-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
b)
\(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x+2y\right)=3x-1\\2x+4=3\left(x-5y\right)-12\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^2\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)
Gõ đề có sai không ạ?
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^4\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2x^6-x^4+y^4\\-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1-x^6+x^4-2x^3y^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế HPT2
\(\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=\left(x^3-y^2\right)^2+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^3-y^2\right)^2+1\) (1)
Có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}\le2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^2-y^2\right)^2+1\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) (1) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1\\\left(x^3-y^2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
1. \(3x^2-7x+2=0\)
2. \(x^4-5x+4=0\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}x-2y=7\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
1. 3x( x - 2 ) - ( x - 2 ) = 0
<=> ( x-2).(3x-1) = 0 => x = 2 hoặc x = \(\dfrac{1}{3}\)
2. x( x-1 ) ( x2 + x + 1 ) - 4( x - 1 )
<=> ( x - 1 ).( x (x^2 + x + 1 ) - 4 ) = 0
(phần này tui giải được x = 1 thôi còn bên kia giải ko ra nha )
3 \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}x-2y=7\\\sqrt{5}x-5y=10\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(1. 3x^2 - 7x +2=0\)
=>\(Δ=(-7)^2 - 4.3.2\)
\(= 49-24 = 25\)
Vì 25>0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1\)=\(\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{25}}{2.3}=\dfrac{7+5}{6}=2\)
\(x_2\)=\(\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{25}}{2.3}=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac{1}{3}\)
Giải các hệ phương trình sau
a,\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=\sqrt{2}\\x-\sqrt{2}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
b, \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x-y\right)-3\left(2x+3y\right)=12\\3\left(x+2y\right)-4\left(x+2y\right)=5\end{matrix}\right.\)
c, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+2}{y-1}=\dfrac{x-4}{y+2}\\\dfrac{2x+3}{y-1}=\dfrac{4x+1}{2y+1}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+2}{y-1}=\dfrac{x-4}{y+2}\\\dfrac{2x+3}{y-1}=\dfrac{4x+1}{2y+1}\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(x-\text{4}\right)\\\left(2x+3\right)\left(2y+1\right)=\left(y-1\right)\left(4x+1\right)\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2x+2y+4=xy-4y-x+4\\4xy+2x+6y+3=4xy-4x+y-1\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3x+6y=0\\6x+5y=-4\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{8}{7}\\y=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)(TM)
\(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x-y\right)-3\left(2x+3y\right)=12\\3\left(x+2y\right)-4\left(x+2y\right)=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}5x-5y-6x-9y=12\\3x+6y-4x-8y=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}-x-14y=12\\-x-2y=5\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{26}{3}\\y=-\dfrac{7}{12}\end{matrix}\right.\)
Vậy HPT có nghiệm (x;y) = (\(-\dfrac{26}{3};-\dfrac{7}{12}\))
Giải hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}\\\sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: ...
Phương trình đầu tương đương:
\(2y^3+y=2\sqrt{1-x}-2x+\sqrt{1-x}\)
\(\Leftrightarrow2y^3+y=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)
Đặt \(\sqrt{1-x}=a\ge0\)
\(\Rightarrow2y^3+y=2a^3+a\)
Hàm \(f\left(t\right)=2t^3+t\) có \(f'\left(t\right)=6t^2+1>0\) ;\(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow y=a\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}\Rightarrow y^2=1-x\) (với \(y\ge0\))
Thế xuống pt dưới:
\(\sqrt{4x+5}=2x^2-6x-1\)
Đặt \(\sqrt{4x+5}=2t-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-3=2x^2-6x-1\\4x+5=4t^2-12t+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=x^2-3x+1\\x=t^2-3t+1\end{matrix}\right.\)
Hệ đối xứng, chắc tới đây bạn giải quyết được phần còn lại