a, Gọi WCLN (n+1;2n+3)=d

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}n+1:d\\2n+3:d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2.\left(n+1\right):d\\2n+3:d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2n+2:d\\2n+3:d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)(2n+3)-(2n+2):d

\(\Rightarrow\)2n+3-2n-2 :d

\(\Rightarrow\)1:d\(\frac{ }{\Rightarrow}\)d\(\in\) Ư (1;-1)

\(\Rightarrow\)n+1;2n+3 là số nguyên tố

Vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\)là vân số tối giản

b,Gọi UCLN (2n+3;4n+7)=d

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3:d\\4n+7:d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(2n+3\right):d\\4n+7:d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}4n+6:d\\4n+7:d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)(4n+7)-(4n+6):d

\(\Rightarrow\)4n+7-4n-6:d

\(\Rightarrow\)1:d \(\Rightarrow\)d\(\in\)Ư (1)

\(\Rightarrow\)2n+3;4n+7 là số nguyên tố

Vậy\(\frac{2n+3}{4n+7}\)là phân số tối giản

GỌi d là ƯC(2n+1 ; 4n)

Khi đó: 2n+1 chia hết cho d 4n chia hết cho d

<=> 8n + 4 chia hết cho d 

GỌi d là ƯC(2n+1 ; 4n)

Khi đó: 2n+1 chia hết cho d 4n chia hết cho d

<=> 8n + 4 chia hết cho d 

GỌi d là ƯC(2n+1 ; 4n)

Khi đó: 2n+1 chia hết cho d 4n chia hết cho d

<=> 8n + 4 chia hết cho d

Gọi d=ƯCLN(2n+3;4n+8)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+8⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+8⋮d\\4n+6⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4n+8-4n-6⋮d\)

=>\(2⋮d\)

mà 2n+3 lẻ

nên d=1

=>ƯCLN(2n+3;4n+8)=1

=>\(P=\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi n<>-2

Gọi ƯCLN(2n+3.4n+8) là d (d E N)

Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 2(2n+3) chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d

          4n+8 chia hết cho d

=> 4n+8-(4n+6) chia hết cho d

=> 4n+8-4n-6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d E {1;2}

Vì 2n+3 là số lẻ, 4n+8 là số chẵn => d = 1

=> ƯCLN(2n+3,4n+8)=1

Vậy phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\)  là phân số tối giảm (đpcm)

Gọi ƯCLN(2n+3.4n+8) là d (d E N)
Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 2(2n+3) chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d
          4n+8 chia hết cho d
=> 4n+8-(4n+6) chia hết cho d
=> 4n+8-4n-6 chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
=> d E {1;2}
Vì 2n+3 là số lẻ, 4n+8 là số chẵn => d = 1
=> ƯCLN(2n+3,4n+8)=1
Vậy phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\)  là phân số tối giảm (đpcm)

:D

Gọi d là ƯCLN của 2n+3 và 4n+8, ta có:
(4n+8)-(2n+3) chia hết cho d
4n+8-2(2n+3) chia hết cho d
4n+8-4n-6 chia hết cho d
4n-4n+8-6 chia hết cho d
2 chia hết cho d => d=2
nhưng vì 2n+3 lẻ nên d là số lẻ => d=1
vậy 2n+3/4n+8 là 2 phân số tối giản

Gọi d là ƯCLN(2n-1;8n-3)

ta có 2n-1\(⋮\)d;8n-3\(⋮\)d

=>4*(2n-1)\(⋮\)d;8n-3\(⋮\)d

=>8n-4\(⋮\)d;8n-3\(⋮\)d

=>[(8n-4)-(8n-3)]\(⋮\)d

=>[8n-4-8n+3]\(⋮\)d

=>-1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(2n-1;8n-3)=1 nên phân số \(\frac{2n-1}{8n-3}\) luôn tối giản(nEN)

Gọi d là UCLN(2n-1;8n-3)

=>2n-1 chia hết cho d và 8n-3 chia hết cho d

=>4.(2n-1) chia hết cho d và 8n-3 chia hết cho d

=>8n-4 chia hết cho d và 8n-3 chia hết cho d

=>8n-4-8n+3 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d =>d=1

=>điều phải chứng minh

Gọi d là ƯCLN( 2n-1;8n-3)

Ta có:  2n-1 chia hết cho d; 8n-3 chia hết cho d

        => 4(2n-1) chia hết cho d; 8n-3 chia hết cho d

        => 8n-4 chia hết cho d; 8n-3 chia hết cho d

        => d ϵ ƯC( 8n-4;8n-3)

Mà Ư CLN(8n-4;8n-3) = 1

=> d=1

=> Với mọi số tự nhiên n thì phân số 2n-1/8n-3 luôn tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(2\right)\)

+) \(d=2\Leftrightarrow2n+3⋮2\)

Mà \(2n⋮2\)

\(\Leftrightarrow3⋮2\left(loại\right)\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) tối giản với mọi n

cho d là UCLL của \(\frac{2n+3}{4n+8}\)

=)\(\left(4n+8\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4n+8-2\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n+6⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)\(\Rightarrow2=d\)

Mà 2n+3 là số lẻ =) d=1

Vậy\(\frac{2n+3}{4n+8}\)là phân số tối giản với mọi số TN n

Gọi ước chung lớn nhất của \(2n+3\)và \(4n+8\)là d 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)\)\(⋮\)\(d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6\)\(⋮\)\(d\)

\(\Rightarrow2\)\(⋮\)\(d\)

Mà \(2n+3\)không chia hết cho 2 

\(\Rightarrow1\)\(⋮\)\(d\)

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}\)là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Gọi d là một ước chung của \(2n+3\) và \(4n+8\) . Ta có :

\(2n+3⋮d;4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(2n+3\right)-4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow4n+6-4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow-2⋮d\Rightarrow d\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Mà \(2n+3\)là số lẻ \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrowđpcm\)