y=x+m-1

=>x-y+m-1=0

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot1+0\cdot\left(-1\right)+m-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|m-1\right|}{\sqrt{2}}\)

Để \(d\left(O;\left(d\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{\left|m-1\right|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)

=>|m-1|=6

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-1=6\\m-1=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=7\\m=-5\end{matrix}\right.\)

\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)

- Gọi M(x₀,y₀) ,N(x₁,y₁) lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d): \(y=\left(2m-3\right)x-1\) với trục tung, trục hoành \(\Rightarrow x_0=y_1=0\).

Vì M(0;y₀) thuộc (d) nên: \(y_0=\left(2m-3\right).0-1=-1\)

\(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\) nên \(OM=1\) (đvđd)

    \(N\left(x_1;0\right)\) thuộc (d) nên: \(\left(2m-3\right)x_1-1=0\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{2m-3}\)

\(\Rightarrow N\left(\dfrac{1}{2m-3};0\right)\) nên \(ON=\dfrac{1}{2m-3}\) (đvđd)

*Hạ OH vuông góc với (d) tại H \(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Xét △OMN vuông tại O có OH là đường cao.

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{OH^2}\)

\(\Rightarrow1+\left(2m-3\right)^2=5\)

\(\Rightarrow2m-3=\pm2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?

(d): y=mx+3

=>mx-y+3=0

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|m\cdot0+\left(-1\right)\cdot0+3\right|}{\sqrt{m^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{m^2+1}}\)

Để d(O;(d))=1 thì \(\dfrac{3}{\sqrt{m^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{m^2+1}=3\)

=>\(m^2+1=9\)

=>\(m^2=8\)

=>\(m=\pm2\sqrt{2}\)