Ta có: \(a^4+1\ge a\left(a^2+1\right)\)\(\Leftrightarrow a^4+1\ge a^3+a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1-a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)

mà \(a^2+a+1=a^2+2a\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}\)\(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}>0\right)\)

Vì \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi a ( Đó là điều hiển nhiên )

Vậy...................

Bài làm chỉ mang tính chất tượng trưng còn sai sót

Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).

Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

Với a, b>0 các bn nha

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))

Vậy bđt đã đc chứng minh

cảm ơn nhiều nha. chúng ta kết bạn được không?

theo bđt bu-nhi-a cốp-xki thì

(a^3+b^3)^2=(axa^2+bxb^2)^2<=(a^2+b^2)(a^4+b^4)

còn bạn chưa biết thì

<=>a^6+b^6+a^2xb^2(a^2+b^2)>=a^6+b^6+2a^3xb^3

,<=>a^2xb^4+b^2xa^4>=2a^3xb^3

<=>(axb^2-a^2xb)^2>=0(luôn đúng)

áp dụng BĐT Cauchy cho hai số : \(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)

\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\) Cộng hai vế bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+\dfrac{1}{2}\ge a+b\) mà \(a+b=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

câu a có bị sai chỗ nào không vậy bạn

kh ạ

a,b dể tự làm nha

c)ta có:   \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2ab-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)       mà a+b=1

\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) mà \(ab\le\frac{1}{4}\)

tahy vào có     \(a^2+b^2\ge2\times\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)

b mình tự làm, bạn làm phần a hộ mình với

sai r Kiều Chinh à, bởi vì nếu \(a^2+b^2\ge2ab\)mà bn thay \(ab\le\frac{1}{4}\)thì lm sao đảm bảo đc a^2+b^2 còn lớn hơn hoặc bằng 1/2. Nếu ab lớn hơn hoặc bằng =1/4 thì đc. 

Mih sẽ giải lại như sau:

Áp dụng bđt Bunhiakopski ta có:

\(1=\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\) 

\(\Rightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\frac{1}{2}\le a^2+b^2\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=1/2

Vậy ...