Question

Chứng minh rằng bất đẳng thức : \(a^4+1\ge a\left(a^2+1\right)\)

Answer 1

Biến đổi tương đương:

\(a^4+1\ge a^3+a\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng, dấu "=" xảy ra khi \(a=1\)