Cho pt \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2-3m-2=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt sao cho \(A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x_2^2\) đạt GTNN
Cho pt \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2-3m-2=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt sao cho \(A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x_2^2\) đạt GTNN
\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2-3m-2\right)=7m+6>0\Rightarrow m>-\frac{6}{7}\)
Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m^2-3m-2\end{matrix}\right.\)
\(A=2018+3x_1x_2-\left(x_1^2+x_2^2\right)=2018+3x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2\)
\(A=2018+5x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2\)
\(A=2018+5m^2-15m-10-4m^2-16m-16\)
\(A=m^2-31m+1992\)
\(A=m^2-2.\frac{31}{2}m+\frac{961}{4}+\frac{7007}{4}\)
\(A=\left(m-\frac{31}{2}\right)^2+\frac{7007}{4}\ge\frac{7007}{4}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{7007}{4}\) khi \(m=\frac{31}{2}\)
Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá, tks bn nhìu :>>
Cho pt \(mx^2+\left(2m+5\right)x+m-1=0\)
Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thoả \(2\left(x_1+x_2\right)=3x_1x_2\)
\(\Delta=\left(2m+5\right)^2-4\left(m-1\right)=4m^2+16m+29=4\left(m+2\right)^2+13>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-5\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(2\left(x_1+x_2\right)=3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow2\left(-2m-5\right)=3\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow7m=-7\)
\(\Leftrightarrow m=-1\)
Cho PT: \(x^2-x-3m-2\)
a) Tìm m PT có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép khi đó.
b) Tính \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2.\)
c) Tính \(\left(x_1+x_2\right)^2.\)
d) Tính \(\left(x_1\right)^2\left(x_2\right)^2.\)
e) Tính \(\left(x_1\right)^3+\left(x_2\right)^3.\)
a: \(x^2-x-3m-2=0\)
\(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-3m-2\right)\)
\(=1+12m+8=12m+9\)
Để phương trình có nghiệm kép thì Δ=0
=>12m+9=0
=>12m=-9
=>\(m=-\dfrac{3}{4}\)
Thay m=-3/4 vào phương trình, ta được:
\(x^2-x-3\cdot\dfrac{-3}{4}-2=0\)
=>\(x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\)
=>\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
=>\(x-\dfrac{1}{2}=0\)
=>\(x=\dfrac{1}{2}\)
b: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{1}=1\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3m-2}{1}=-3m-2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)
\(=1^2-3\left(-3m-2\right)\)
\(=1+9m+6=9m+7\)
c: \(\left(x_1+x_2\right)^2=1^2=1\)
d: \(\left(x_1\right)^2\cdot\left(x_2\right)^2=\left[x_1x_2\right]^2\)
\(=\left(-3m-2\right)^2\)
\(=9m^2+12m+4\)
B1: Cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)(1)
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm dương
b. Gọi \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của (1). Tìm m để A=\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2\)nhận GT nguyên
B2: cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\)(1)
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu
b. Tìm m để nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia
B3: cho pt \(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m-1=0\)(1)
a. cmr pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
b. Tìm m để A=\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)đạt GTLN
B4: Cho pt \(x^2+\left(2m+3\right)x+3m+11=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\ne0\)thỏa mãn \(|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|=\frac{1}{2}\)
B5: cho 2 đường thẳng \(\left(d_1\right):y=\left(m-1\right)x-m^2-m\)và \(\left(d_2\right):y=\left(m-2\right)x-m^2-2m+1\)
a. Xđ tọa độ giao điểm của \(d_1\)và \(d_2\)(điểm G)
b. cmr điểm G thuộc 1 đường thẳng cố định khi m thay đổi
B6: cho pt \(2x^2-4mx+2m^2-1=0\)(1)
a. cmr pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
b. tìm m để pt (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(2x_1^2+4mx_2+2m^2-1>0\)
B7: cho pt \(x^2-2mx-16+5m^2=0\)(1)
a. tìm m để (1) có nghiệm
b. gọi \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của (1). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A=\(x_1\left(5x_1+3x_2-17\right)+x_2\left(5x_2+3x_1-17\right)\)
Cho PT \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\) ( m là tham số). Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) ( với \(x_1< x_2\)) thảo mãn \(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\)
|x1|=3|x2|
=>|2m+2-x2|=|3x2|
=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2
=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1
Th1: x2=1/2m+1/2
=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2
x1*x2=m^2+2m
=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m
=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0
=>m=1 hoặc m=-3
TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3
x1x2=m^2+2m
=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0
=>m=-1/2; m=-3/2
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Cho PT: \(x^2+2\left(m+1\right)x-8=0\left(1\right)\).
Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2=x_2\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+32>0\left(\text{đúng }\forall m\right)\)
Theo Vi-ét: \(\begin{cases} x_1+x_2=-2(m+1)=-2m-2\\ x_1x_2=-8 \end{cases}\)
Vì $x_1$ là nghiệm của PT nên \(x_1^2=-2(m+1)x_1+8\)
Ta có \(x_1^2=x_2\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m+1\right)x_1+8=x_2\\ \Leftrightarrow x_2+2mx_1+2x_1-8=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2mx_1+x_1-8=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(2m+1\right)-2m-10=0\\ \Leftrightarrow x_1=\dfrac{2m+10}{2m+1}\)
Mà \(x_1+x_2=-2m-2\Leftrightarrow x_2=-2m-2-\dfrac{2m+10}{2m+1}=\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}\)
Ta có \(x_1x_2=-8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+10}{2m+1}\cdot\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}=-8\\ \Leftrightarrow\left(2m+10\right)\left(m^2+2m+3\right)=2\left(2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow m^3+3m^2+9m+14=0\\ \Leftrightarrow m^3+2m^2+m^2+2m+7m+14=0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2+m+7\right)=0\\ \Rightarrow m=-2\)
Vậy $m=-2$
Cho phươnh trình \(x^2-2\left(m-1\right)x^2+m^2-3m=0\)
a. Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)
b. Tìm GTNN của biểu thức B = \(x_1^2+x_2^2+7\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3m\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m+1\ge0\Rightarrow m\ge1\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)
\(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+7\)
\(B=\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)+7\)
\(B=2m^2-2m+11\)
\(B=2m\left(m-1\right)+11\ge11\)
\(B_{min}=11\) khi \(m=1\)
Cho pt \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) đạt GTNN.
\(\Delta=4m^2+20m+25-8m-4=4m^2+12m+21=\left(2m+3\right)^2+12>0\)
với mọi m => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
theo Viet (điều kiện m > -1/2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+5\\x1.x2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(p^2=x1-2\left|\sqrt{x1.x2}\right|+x2=2m+5-2\sqrt{2m+1}=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3< =>p\ge\sqrt{3}\)
dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}=1< =>m=0\left(tm\right)\)