Xác định m để hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=2\\x-my=2\end{matrix}\right.\)(m là tham số) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)(m là tham số ).Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge1\end{matrix}\right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)
=>m<-1
.
Cho hệ phương trình với tham số m:\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y ) mà S= y–x đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m\left(2-my\right)-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-m^2y-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-\left(m^2y+2y\right)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m^2y+2y=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y\left(m^2+2\right)=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-\dfrac{m\cdot\left(2m-1\right)}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2+4-2m^2+m}{m^2+2}=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
Tới đây bạn tự làm tiếp nhé
Cho hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y < 0
Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):
$m(m+1-my)+y=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$
Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$
$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$
Có:
$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$
$\Leftrightarrow -1< m< 0$
Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y<0
Cho hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=1\end{matrix}\right.\)
a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
a, \(\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m\\x+my=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x=2m+1\\y=\dfrac{1-x}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{1-\dfrac{2m+1}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{\dfrac{m^2+1-2m-1}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{\dfrac{m^2-2m}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2}\\y=\dfrac{m^2-2m}{m^2+1}:m=\dfrac{m\left(m-2\right)}{m\left(m^2+1\right)}=\dfrac{m-2}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)
b, Để hpt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{m}{1}\ne-\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m^2\ne-1\left(luondung\right)\)
\(\dfrac{2m+1}{m^2}+\dfrac{m-2}{m^2+1}=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\left(m^2+1\right)+m^2\left(m-2\right)=-m^2\left(m^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2m^3+2m+m^2+1+m^3-2m^2=-m^4-m^2\)
\(\Leftrightarrow3m^3-m^2+2m+1=-m^4-m^2\)
\(\Leftrightarrow m^4+3m^3+2m+1=0\)
bạn tự giải nhé
Cho hệ phương trình (I)\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2m\\x-my=1+m\end{matrix}\right.\)
a, Xác định m để hẹ phương trình có nghiệm duy nhất
b, Xác định m để hẹ phương trình có nghiệm nguyên
\(a,\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2m\\x-my=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m^2\\x-my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m^2x-x=2m^2-m-1\Leftrightarrow x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\)
\(ycầuđềbài\Leftrightarrow m^2-1\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm-1\)
\(b,\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2-m-1}{m^2-1}=\dfrac{\left(m-1\right)\left(2m+1\right)}{m^2-1}=\dfrac{2m+1}{m+1}=2+\dfrac{-2}{m+1}\\y=mx-2m=\dfrac{m\left(2m+1\right)-2m^2-2m}{m+1}=\dfrac{-m}{m+1}=-1+\dfrac{1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
\(\left(x;y\right)\in Z\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\pm1\\m+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\\m+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=0;m=-2\)
Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm duy nhất?a)\(\left\{{}\begin{matrix}x+m-1>0\\3m-2-x>0\end{matrix}\right.\) b)\(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\mx-3>0\end{matrix}\right.\) c)\(\left\{{}\begin{matrix}x+4m^2\le2mx+1\\3x+2>2x-1\end{matrix}\right.\)
d)\(\left\{{}\begin{matrix}7x-2\ge-4x+19\\2x-3m+2< 0\end{matrix}\right.\) e)\(\left\{{}\begin{matrix}mx-1>0\\\left(3m-2\right)x-m>0\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x\right|-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\), m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi nào?
TH1: x>0
Hệ phương trình sẽ trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{m}\ne-\dfrac{1}{1}=-1\)
=>\(m\ne-2\)
TH2: x<0
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(-\dfrac{2}{m}\ne-\dfrac{1}{1}=-1\)
=>m<>2
Cho hệ phương trình (m là tham số) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\) tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ đẫ cho có nghiệm duy nhất khi \(m\ne-1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m\left(1+y\right)+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m+my+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y\left(m+1\right)=0\end{matrix}\right.\) (*)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) m + 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) -1
Khi đó: (*) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y=\dfrac{0}{m+1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+0=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy m \(\ne\) -1 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Chúc bn học tốt!
Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)
a) Xác định các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x ; y là số nguyên dương.