a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.

Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.

Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E

Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD

Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC

Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).

b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI

Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 90⁰

Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)

Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC

Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).

a: Xét ΔMAO và ΔMCO có

MA=MC

AO=CO

MO chung

=>ΔMAO=ΔMCO

=>góc MCO=90 độ

góc MAO+góc MCO=180 độ

=>MAOC nội tiếp đường tròn đường kính MO

=>I là trung điểm của MO

b: góc MCO=90 độ

=>MC là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔMCD và ΔMBC có

góc MCD=góc MBC

góc CMD chung

=>ΔMCD đồng dạng với ΔMBC

=>MC/MB=MD/MC

=>MC^2=MB*MD

a ) .Xét t/g ABM và t/g NBM có:

AB là đường kính của đường trong (O)

nên : góc ABM = góc NMB = 90 độ

M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC 

nên : góc ABM = góc MBN=>góc BAM  = góc BNM

=> t/g BAN cân tại đỉnh B

Tứ giác AMCB nội tiếp 

=> góc BAM = góc MCN ( cùng bù với góc MCB )

=> góc MCN = góc MNC ( cùng bằng góc BAM)

=> t/g MCN cân tại đỉnh M

b) .

Xét t/g MCB và t/g MNQ ta có:

MC = MN ( theo cm trên : MCN cân)  ; MB =MQ ( theo giả thiết)

góc BMC = góc MNQ ( vì : góc MCB = góc MNC ; góc MBC = góc MQN ).

=> t/g MCB = t/g MNQ ( c.g.c ) => BC = NQ

Xét t/g vuông ABQ ta có:

AC vuông góc BQ => \(AB^2=BC.BQ=BC.\left(BN+NQ\right)\)

=> \(AB^2=BC.\left(AB+AC\right)=BC.\left(BC+2R\right)\)

=> \(4R^2=BC\left(BC+2R\right)\Rightarrow BC=\left(\sqrt{5}-1\right)R\)

giúp em với năn nỉ m,n 

a) Xét (O) có

CD là dây cung(C,D∈(O))

B là điểm chính giữa của \(\stackrel\frown{CD}\)(gt)

Do đó: \(\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{BD}\)

⇒\(sđ\widehat{CB}=sđ\widehat{BD}\)(1)

Xét (O) có 

\(\widehat{BMD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD(gt)

nên \(\widehat{BMD}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BD}\)(Định lí góc nội tiếp)(2)

Xét (O) có 

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC(gt)

nên \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\widehat{CB}\)(Định lí góc nội tiếp)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BMD}=\widehat{BAC}\)(đpcm)

Bài 2:

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên OC là phân giác của góc MOA(1) và CM=CA
Xet (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b:

Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên MC*MD=OM^2

c: \(AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)