Lời giải:
a) .
$A$ nằm trên $(O)$ nên $OA=R$. \(BC=2R\Rightarrow OB=OC=\frac{2R}{2}=R\)
Như vậy, tam giác $OAB$ có \(OA=OB=AB=R\) nên $OAB$ là tam giác đều.
b)
Ta thấy \(\widehat{BAC}=\widehat{BMC}=90^0\) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow \widehat{IAD}=180^0-\widehat{BAC}=90^0; \widehat{IMD}=180^0-\widehat{BMC}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{IAD}+\widehat{IMD}=90^0+90^0=180^0\)
Tứ giác $AIMD$ có tổng 2 góc đối nhau bằng $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
c) Theo phần a tam giác $AOB$ đều nên \(\widehat{AOB}=60^0\)
Vì tứ giác $AIMD$ nội tiếp nên \(\widehat{ADI}=\widehat{AMI}=\widehat{AMB}\)
Mà \(\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.60^0=30^0\) (góc nội tiếp chắn một cung thì bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó)
Do đó: \(\widehat{ADI}=30^0\)
