\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải: ĐK: $x,y\geq 2$
HPT \(\Rightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}+(\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2})=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y).\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}-\frac{1}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-y=0\) (do dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Khi đó: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{m}$
$\Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}=m$

Để hpt có nghiệm thì pt trên có nghiệm 

$\Leftrightarrow m\geq \min (2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)})$

$\Leftrightarrow m\geq 2.2-1+2.0=3$

Vậy $m\geq 3$

Lần lượt lấy pt (3) trừ pt (1) và pt (2) trừ 2 lần pt (1) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)y+4z=1\\y+\left(m+2\right)z=1\end{matrix}\right.\)

Hệ đã cho vô nghiệm khi:

\(\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{m+2}{4}\ne\dfrac{1}{1}\)

\(\Leftrightarrow m=-3\)

Bài 1:

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{2x-2}\\v=\dfrac{1}{y-1}\end{matrix}\right.\) (ĐK: \(x,y\ne1\))  

Hệ trở thành:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-v=2\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u-3v=6\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-v=5\\u-v=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=2+-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=-3\end{matrix}\right.\)

Trả lại ẩn của hệ pt:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y-1}=-5\\\dfrac{1}{2x-2}=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=-\dfrac{1}{5}\\2x-2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{5}\\x=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow(-\text{∞};\dfrac{8}{13}]\cap[\dfrac{2m-8}{5};+\text{∞})=\phi\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}< \dfrac{2m-8}{5}\Leftrightarrow m>\dfrac{72}{13}\)

m>\(\dfrac{72}{13}\)

 Bất phương trình  \(( x − 3 ) 2 ≥ x 2 + 7 x + 1 ⇔ x 2 − 6 x + 9 ≥ x 2 + 7 x + 1\)

\(⇔ − 6 x + 9 ≥ 7 x + 1 ⇔ 8 ≥ 13 x ⇔ x ≤\)\(\dfrac{8}{13}\)\(⇒ S 1 = ( − ∞ \)\(;\dfrac{8}{13}\)\(]\)

Bất phương trình \(2 m ≤ 8 + 5 x ⇔ 5 x ≥ 2 m − 8 ⇔ x ≥ \)\(\dfrac{2m-8}{5}\)

\(⇒ S 2 = [ \)\(\dfrac{2m-8}{3}\)\(; + ∞ ) .\)

Để hệ bất phương trình vô nghiệm \(⇔ S 1 ∩ S 2 = ∅ ⇔\)\(\dfrac{8}{13}\)<\(\dfrac{2m-8}{5}\)\(⇔ m >\)\(\dfrac{72}{13}\)

Vậy \(m>\)\(\dfrac{72}{13}\)