x² - 2(m - 2)x + m² - 5m - 4 = 0 (1) m là tham số a giải phương trình 1 với M = 1 b tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 bình + X2 bình bằng -3 x1 x2 - 4
a: Khi m=1 thì (1): x^2-2(1-2)x+1^2-5-4=0
=>x^2+2x-8=0
=>(x+4)(x-2)=0
=>x=2 hoặc x=-4
b: Δ=(2m-4)^2-4(m^2-5m-4)
=4m^2-16m+16-4m^2+20m+16
=4m+32
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì 4m+32>0
=>m>-8
x1^2+x2^2=-3x1x2-4
=>(x1+x2)^2+x1x2+4=0
=>(2m-4)^2+m^2-5m-4+4=0
=>4m^2-16m+16+m^2-5m=0
=>5m^2-21m+16=0
=>(m-1)(5m-16)=0
=>m=16/5 hoặc m=1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
x 2 - 3 x + 2 ≤ 0 m x 2 - 2 ( 2 m + 1 ) + 5 m + 3 ≥ 0
Ta có bất phương trình x 2 - 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:
m x 2 – 2(2m + 1)x + 5m + 3 ≤ 0 (1) có nghiệm x ∈ S = [1;2].
Ta đi giải bài toán phủ định là: Tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S
Tức là bất phương trình f(x) = m x 2 - 2(2m + 1)x + 5m + 3 < 0 (2) đúng với mọi x ∈ S.
• m = 0 ta có (2) -2x + 3 < 0 ⇔ x > 3/2 nên (2) không đúng với ∀x ∈ S
• m ≠ 0 tam thức f(x) có hệ số a = m, biệt thức Δ' = - m 2 + m + 1
Bảng xét dấu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 - m x 2 + 1 + m + 4 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
A. m>6
B. m>4
C. m>7
D. m>5
Cho phương trình 9 x − 2 m + 1 3 x + m − 3 = 0 . Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = 2 .
A. m = 1
B. m = 1 2
C. m = 12
D. m = 3 2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9 . 9 x 2 - 2 x – ( 2 m + 1 ) 15 x 2 - 2 x + 1 + 4 m - 2 5 2 x 2 - 4 x + 2 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt
A. 1 2 < m < 1
B. m > 3 + 6 2 hoặc m < 3 - 6 2
C. m > 1 hoặc m < 1 2
D. 3 - 6 2 < m < 3 + 6 2
Dựa vào bảng biến thiên hàm f(x), ta thấy để phương trình (1) có 2 nghiệm thực x phân biệt thì phương trình (2) phải có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1), nghiệm còn lại (nếu có) khác 1. Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 3 5 x - 1 2 và đường thẳng y = 2 m - 1 nên điều kiện của m thỏa mãn là 0 < 2 m - 1 < 1 ⇔ 1 2 < m < 1
Cho phương trình x²- 2x + m - 1 = 0 với M là tham số a, Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1²+x2²-3x1x2= 2m²+|m-3|
Δ=(-2)^2-4(m-1)
=-4m+4+4
=-4m+8
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+8>0
=>-4m>-8
=>m<2
x1^2+x2^2-3x1x2=2m^2+|m-3|
=>2m^2+|m-3|=(x1+x2)^2-5x1x2=2^2-5(m-1)=4-5m+5=-5m+9
TH1: m>=3
=>2m^2+m-3+5m-9=0
=>2m^2+6m-12=0
=>m^2+3m-6=0
=>\(m\in\varnothing\)
TH2: m<3
=>2m^2+3-m+5m-9=0
=>2m^2+4m-6=0
=>m^2+2m-3=0
=>(m+3)(m-1)=0
=>m=1 hoặc m=-3
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\) (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2(x1<x2)
thoa man: \(\left|x1\right|=3\left|x2\right|\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2m\right)=1>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-1=m\\x_2=m+1+1=m+2\end{matrix}\right.\)
\(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left|m\right|=3\left|m+2\right|\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m+6=-m\\3m+6=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị cuả tham số m để phương trình \(4\sqrt{x^2-4x+5} =x^2-4x+2m-1\) có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2: Tìm các giá trị của tham số m sao cho tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình \((m-3)x^2+2x-4=0\) bằng 4
Câu 3: Cho tam giác ABC có \(BC=a, AC=b, AB=c\) và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Câu 4: Cho tam giác ABC. Gọi D,I lần lượt là các điểm xác định bởi \(3\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\). Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}\) (x∈R)
a) Biểu thị \(\overrightarrow{BI}\) theo \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
b) Tìm x để ba điểm B,I,M thẳng hàng
1.
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)
Pt trở thành:
\(4t=t^2-5+2m-1\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)
2.
Để pt đã cho có 2 nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
3.
Nối AI kéo dài cắt BC tại D thì D là chân đường vuông góc của đỉnh A trên BC
\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\dfrac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)
\(\Leftrightarrow b.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}\) (1)
Mặt khác:
\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a.\overrightarrow{IA}\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}-\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
Cho phương trình x2 - (m +1)x +2m -8 =0 (1), m là tham số.
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 + ( x1 - 2)(x2 -2) =11
Δ=(m+1)^2-4(2m-8)
=m^2+2m+1-8m+32
=m^2-6m+33
=(m-3)^2+24>=24
=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb
x1^2+x2^2+(x1-2)(x2-2)=11
=>(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=11
=>(m+1)^2-(2m-8)-2(m+1)+4=11
=>m^2+2m+1-2m+8-2m-2-7=0
=>m^2-2m-8=0
=>(m-4)(m+2)=0
=>m=4 hoặc m=-2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm
x 2 - 3 x + 2 ≤ 0 m x 2 - 2 ( 2 m + 1 ) x + 5 m + 3 ≥ 0
A. m > -1/2
B. m = -1/2
C. m ≥ -1/2
D. không tồn tại
Chọn C
Ta có bất phương trình x2- 3x+ 2≤ 0 khi và chỉ khi 1≤ x≤ 2
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:
mx2-2( 2m+1) x+ 5m+3≤0 (1)
có nghiệm x: 1≤ x≤ 2
+ Ta đi tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S
Tức là bpt f( x) = mx2-2( 2m+1) x+ 5m+3< 0 (2)
đúng với mọi x ∈ S
+ Nếu m= 0 (2) trờ thành: -2x+ 3≤0 hay x> 3/2 nên (2) không đúng với mọi x ∈ S
+ Nếu m≠ 0 tam thức f(x) có hệ số a= m, biệt thức ∆’ = -m2+m+ 1
Bảng xét dấu:
