a)

Xét tứ giác MNPQ có 

G là trung điểm của đường chéo MP(gt)

G là trung điểm của đường chéo NQ(gt)

Do đó: MNPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) 

Xét ΔABC có 

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)

BM cắt CN tại G(gt)

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Định lí ba đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra: \(MG=\dfrac{1}{3}MB;BG=\dfrac{2}{3}MB;NG=\dfrac{1}{3}NC;CG=\dfrac{2}{3}NC\)(1)

Ta có: G là trung điểm của MP(gt)

nên MG=GP

mà \(MG=\dfrac{1}{3}MB\)

nên \(MG=GP=\dfrac{1}{3}MB\)

Ta có: MG+GP=MP(G nằm giữa M và P)

nên \(MP=\dfrac{1}{3}MB+\dfrac{1}{3}MB=\dfrac{2}{3}MB\)(1)

Ta có: G là trung điểm của NQ(gt)

nên \(GN=GQ=\dfrac{1}{3}NC\)

Ta có: NG+GQ=NQ(G là trung điểm của NQ)

nên \(NQ=\dfrac{1}{3}NC+\dfrac{1}{3}NC=\dfrac{2}{3}NC\)(2)

Ta có: \(AN=NB=\dfrac{AB}{2}\)(N là trung điểm của AB)

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}\)(M là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên AN=NB=AM=MC

Xét ΔAMB và ΔANC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN(cmt)

Do đó: ΔAMB=ΔANC(c-g-c)

Suy ra: BM=CN(hai cạnh tương ứng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra NQ=MP

Hình bình hành MNPQ có NQ=MP(cmt)

nên MNPQ là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: G là trọng tâm của ∆ ABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét  ∆ BCM và  ∆ CBN, có: BC cạnh chung

∠ (BCM) =  ∠ (CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra:  ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)

⇒  ∠ (MBC) =  ∠ (NCB) ⇒  ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

a: Xét ΔABC có

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC

hay BCMN là hình thang

Tự vẽ hình:

cminh:Vì D đối xứng với G qua M

        =>GM=MD Hay GD=2GM

Vì BM;CN cắt nhau tại G trong tam giác ABC

=>G là trọng tâm trong Tam giác ABC =>BG=2GM

Suy ra : GD=BG(vì =2GM)=> G là trung điểm của BD (1)

Ta lại có : E đối xứng với G qua N=> EN=GN Hay EG=2NG

Và CG=2GN( G là trọng tâm)

Suy ra: CG=EG ( vì =2NG) (2) (*)

Từ (1) (2)=> Tứ giác BEDC là hình bình hành

Xét \(\Delta\)CBM Và \(\Delta\)BCN Có:

       BC: Cạnh chung

Góc B=C(g/t)

       BN=CM(AB=AC)

=> hai tam giác bằng nhau(c-g-c)

=>MBC=NCB(2 góc tương ứng) hay tam giác GBC cân=> BG=GC (**)

Từ (*) (**)=> Hình bình hành BEDC là hình chữ nhật

a: ta có: GN và GQ là hai tia đối nhau

=>G nằm giữa N và Q

mà GN=GQ

nên G là trung điểm của NQ

Ta có: GP và GM là hai tia đối nhau

=>G nằm giữa P và M

mà GP=GM

nên G là trung điểm của PM

Xét tứ giác MNPQ có

G là trung điểm chung của MP và NQ

=>MNPQ là hình bình hành

b: Ta có: ΔABC cân tại A

=>AB=AC(1)

Ta có: M là trung điểm của AC

=>\(AM=CM=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Ta có: N là trung điểm của AB

=>\(AN=BN=\dfrac{AB}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM=CM=AN=BN

Xét ΔAMB và ΔANC có

AM=AN

\(\widehat{BAM}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔANC

=>BM=CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(MG=\dfrac{1}{3}BM;NG=\dfrac{1}{3}CN\)

mà BM=CN

nên MG=NG

G là trung điểm của QN

nên QN=2NG

G là trung điểm của MP

nên MP=2MQ

Ta có: MG=NG

mà QN=2NG và MP=2MQ

nên QN=MP

Hình bình hành MNPQ có NQ=MP

nên MNPQ là hình chữ nhật

Xét tam giác vuông NCB và tam giác vuông MBC

có góc NBC = góc MCB (gt)

BC cạnh chung

=>tam giác NCB = tam giác MBC (cạnh huyền góc nhọn )

=>BN =CM ( 2 cạnh tương ứng)

ta có tam giác ABC cân tại A

có BN =CN (cmt)

AB =AC (gt)

=>AM =AN

=>tam giác AMN cân tại A

ta có tam giác ABC cân tại A

=> góc ABC =(180⁰-góc C)/2    (1)

ta có tam giác AMN cân tại A

=> góc ANM =(180⁰-C)/2     (2)

từ (1) và (2) =>góc ANM =góc ABC

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> MN//BC

=>tứ giác BCMN là hình thang

có góc ABC =góc ACB 

=>tứ giác BCMN là hình thang cân

a: Xét ΔABC có

\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

Do đó: MN//BC

Xét tứ giác BNMC có MN//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

nên BMNC là hình thang cân