Áp dụng BĐT cô-si, ta có

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right);\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

Nhân từng vế, ta có \(\left(a+b+c\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right).4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\left(ĐPCM\right)\)

dấu = xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

^_^

Câu trả lời hay nhất:  áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm có 
1 = (a + b+ c)^2 >= 4a(b + c) 
<=> b +c >= 4a(b + c)^2 
Mà (b + c)^2 >= 4bc 
Vậy b + c >= 4a.4bc = 16abc

p/s:kham khảo

Áp dụng: (a+b)^2 >= 4ab (note: x^y là x mũ y) 
Có [a+(b+c)]2 >= 4a(b+c) do a+b+c=1 
suy ra 1 >= 4a(b+c) 
do b,c không âm, nhân 2 vế với (b+c) được: 
b+c >= 4a(b+c)^2, lại có 4a(b+c)^2 >=16abc 
theo tc bắc cầu: b+c >= 16abc 
Dấu bằng xảy ra khi: a=b+c và b=c, với gt a+b+c=1 ==> a=1/2, b=1/4, c=1/4 (ĐPCM)

đều đúng hết

p/s:kham khảo

Đặt \(x=a+b;y=b+c,z=c+a\)

\(\Rightarrow x+y+z=2\)

Ta cần chứng minh:\(x+z\ge4xyz\)

Ta có:\(4\left(x+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\left(x+z\right)\ge4y\left(x+z\right)\left(x+z\right)\)

\(=4y\left(x+z\right)^2\ge4y.4xz=16xyz\)

\(\Rightarrow\)\(x+z\ge4xyz\)

Hoàn tất chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi \(x=z=\frac{1}{2};y=1\) thế vào tìm a,b,c

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

<=>\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)

<=>\(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

<=>\(1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)

nhân (1) với (2) ta đc

\(\left(b+c\right)^2\ge16abc.\left(b+c\right)\)

<=>\(b+c\ge16abc\) (đpcm)

\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a+ab^2}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);  \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên,ta được: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

Do \(ab+bc+ca\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) (dấu "=" xảy ra khi a = b = c) nên ta có:)

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

:"here

Câu hỏi của Alice Sophia - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

đặt:

\(S=\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}=\frac{a^3}{a+b+c+d}+\frac{b^3}{a+b+c+d}+\frac{c^3}{a+b+c+d}+\frac{d^3}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a^4}{a^2+ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc+bd}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2+cd}+\frac{d^4}{ad+bd+cd+d^2}\)

áp dụng bất đẳng thức schwarts ta có:

\(S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

áp dụng bất đẳng thức bunhicốpski ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}}{4}=\frac{4.1}{4}=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge a+b+c+d\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1