Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Mỹ vân

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a2+b2+c2+abc=4 .Chứng minh rằng :

\(abc+2\ge ab+bc+ca\ge abc\)

Hồng Phúc
27 tháng 8 2021 lúc 23:44

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.

 


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết