https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(x^2y^2+1\ge2xy,\) \(y^2z^2+1\ge2yz,\) \(z^2x^2+1\ge2zx\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với \(x^2+y^2+z^2\), ta được:

\(\left(x+y+z\right)^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3=9\)

Từ đó suy ra: \(Q\le3\)

Mặt khác, dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)  nên ta có kết luận \(Max_Q=3\)

Ta sẽ chứng minh \(Q\ge\sqrt{6}\) với dấu đẳng thức xảy ra, chẳng hạn \(x=\sqrt{6},\) \(y=z=0.\) Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(2xy+x^2y^2\le x^2+y^2+x^2y^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Từ đó suy ra: \(xy\le\sqrt{7}-1< 2\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 

\(yz< 2,\) \(zx< 2.\)

Do đó, ta có: 

\(Q^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Hay: \(Q\ge\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow Min_Q=\sqrt{6}\)

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra

Xét hàm số f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t  trên ℝ .

Đạo hàm  f ' ( t ) = 5 t . ln 5 - ln 3 3 t + 1 > 0 ,   ∀ t ∈ ℝ ⇒ hàm số f ( t ) luôn đồng biến trên  ℝ .

Suy ra

Do y > 0 nên x + 1 x - 2 > 0 ⇔ [ x > 2 x < - 1 . Mà x > 0  nên  x > 2 .

Từ đó T = x + y = x + x + 1 x - 2 . Xét hàm số g ( x ) = x + x + 1 x - 2 trên 2 ; + ∞ .

Đạo hàm

Lập bảng biến thiên của hàm số trên  2 ; + ∞ , ta thấy min   g ( x ) = g ( 2 + 3 ) = 3 + 2 3 .

Vậy T m i n = 3 + 2 3 khi x = 2 + 3  và  x = 1 + 3 .

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra 5 x + 2 y + 1 3 x y - 1 + x + 1 = 5 x y - 1 + 1 3 x + 2 y + x y - 2 y  

⇔ 5 x + 2 y - 1 3 x + 2 y + x + 2 y = 5 x y - 1 - 1 3 x y - 1 + ( x y - 1 )  (1)

Xét hàm số f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t  trên ℝ .

Đạo hàm f ' ( t ) = 5 t . ln 5 + ln 3 3 t + 1 > 0 , ∀ t ∈ ℝ ⇒ hàm số f (t) luôn đồng biến trên  ℝ .

Suy ra  1 ⇔ f ( x + 2 y ) = f ( x y - 1 ) ⇔ x + 2 y = x y - 1 ⇔ x + 1 = y ( x - 2 )

y = x + 1 x - 2

Do y > 0  nên x + 1 x - 2 > 0 ⇔ x > 2 x < - 1  . Mà x > 0 nên x > 2.

Từ đó T = x + y = x + x + 1 x - 2 . Xét hàm số g ( x ) = x + x + 1 x - 2  trên 2 ; + ∞ .

Đạo hàm g ' ( x ) = 1 - 3 x - 2 2 > 0 , g ' ( x ) = 0 ⇔ ( x - 2 ) 2 = 3  

⇔ x = 2 + 3   ( t m ) x = 2 - 3   ( L ) . Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2 ; + ∞ , ta thấy m i n   g ( x ) = g ( 2 + 3 ) = 3 + 2 3 .

Vậy T m i n = 3 + 2 3  khi x = 2 + 3  và y = 1 + 3 .

Từ giả thiết ta suy ra

Xét hàm số  f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t   với  t   ∈ ℝ ,   f ' ( t ) = 5 t . ln 5 + 3 - t . ln 3 + 1 > 0 ;   ∀ t ∈ ℝ

Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ ( * ) suy ra

f (x+ 2y) =f( xy-1)  hay x+ 2y= xy-1

với x>0 suy ra y>1.

Khi đó

Xét hàm số

  f ( y ) = y 2 + y + 1 y - 1   t r ê n   1 ; + ∞ f ' y = y 2 - 2 y - 2 y - 1 2 = 0 ⇔ y = ± 1 + 3 f 1 + 3 = 3 + 2 3 ;   lim y → 1 f ( y ) = lim y → + ∞ f ( y ) = + ∞

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là  3 + 2 3 .

Vậy kết quả là  3 + 2 3

Chọn B.

Đáp án C

Đặt t = y x > 1 ⇒ y = t x ⇒ P = log x t x 2 - 1 2 + 8 log t t x x 2  

= log x t 2 + 1 2 + 8 log t t x - log t x 2 = 2 log x t 2 + 1 2 + 8 1 + log t x - 1 2 log t x 2  

Đặt u = log t x ⇒ P = 2 u + 1 2 + 8 1 + 1 2 u 2 = 4 u 2 + 4 u + 2 u 2 + 8 u + 9 = P u  

Do u = log x y x = log x y - 1 > 0  nên xét P u u > 0 ⇒ P ' u = 8 u + 4 - 4 u 3 - 8 u 2  

= 4 2 u + 1 u 3 - 1 u 3 = 0 → u > 0 u = 1 . Do đó ta tìm được P m i n = P 1 = 27 .