a, Gọi I là trung điểm của AB, ta có: OI = OA – IA

b, Ta chứng minh được IC//BD//OE

Mà OB = BI = IA => AC = CD = DE

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này

d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N

Đặt BH=2R; CH= 2R’

∆IOM vuông tại M có:

I M 2 = I O 2 - O M 2 =  R + r 2 - R - r 2 = 4 R r

Tương tự , ∆ION có  I N 2 = 4 R ' r

Suy ra IM+IN=EF=AH

Vậy  2 R r + 2 R ' r = 2 R R '

=>  r R + R ' = R R '

=> r =  R R ' R + R ' 2

a: Gọi E là trung điểm của OA

=>E là tâm đường tròn đường kính OA

Xét (E) có

ΔOBA nội tiếp

OA là đường kính

Do đó: ΔOBA vuông tại B

=>AB vuông góc OB tại B

=>AB là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

ΔOCA nội tiếp

OA là đường kính

Do đó: ΔOCA vuông tại C

=>AC vuông góc với CO tại C

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔBCK nội tiếp

BK là đường kính

Do đó: ΔBCK vuông tại C

=>BC vuông góc CK tại C

Xét (E) có

ΔBCI nội tiếp

BI là đường kính

Do đó: ΔBCI vuông tại C

=>BC vuông góc CI tại C

\(\widehat{KCI}=\widehat{KCB}+\widehat{ICB}\)

\(=90^0+90^0\)

\(=180^0\)

=>K,C,I thẳng hàng

Xét (B;BC) có

BC là bán kính

KI vuông góc với BC tại C

Do đó: KI là tiếp tuyến của (B;BC)

a:

I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-AI

=R-R'

=>(O) với (I) tiếp xúc nhau tại A

b: ΔIAD cân tại I

=>góc IAD=góc IDA

=>góc IDA=góc OAC

ΔOAC cân tại O

=>góc OAC=góc OCA

=>góc IDA=góc OCA
mà hai góc này đồng vị

nên ID//OC

c: Xét (I) có

ΔADO nội tiếp

AO là đường kính

=>ΔADO vuông tại D

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔACB vuông tại C

Xét ΔACB vuông tại C có cos CAB=AC/AB=1/2*căn 3

=>góc CAB=30 độ

CB=căn AB^2-AC^2=R/2

\(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\)

Xét ΔADO vuông tại D và ΔACB vuông tại C có

góc DAO chung

Do đó: ΔADO đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{ADO}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AO}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}\right)\)

=>\(S_{ODCB}=\dfrac{3}{4}\cdot S_{ACB}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}=\dfrac{3\cdot\sqrt{3}\cdot R^2}{32}\)

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC và AO là phân giác của góc BAC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC 

Xét ΔOBA vuông tại B có cos BOK=OB/OA=1/2

nên góc BOK=60 độ

mà OB=OK

nên ΔOKB đều

b: \(AB=AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

góc DOC=180-120=60 độ

=>góc EOC=30 độ

Xét ΔEOC vuông tại C có tan EOC=EC/CO

=>EC/R=tan 30

=>EC=căn 3/3*R

=>\(AE=R\sqrt{3}+R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4}{3}R\cdot\sqrt{3}\)

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc với BC

Xét ΔOBA vuông tại B có cos BOA=OB/OA=1/2

nên góc BOA=60 độ

Xét ΔOBK có OK=OB và góc BOK=60 độ

nên ΔOBK đều

b: \(AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

góc DOC=180-120=60 độ

=>góc EOC=30 độ

Xét ΔOCE vuông tại C có tan EOC=EC/OC

=>EC/R=tan30

=>\(EC=R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(AE=AC+CE=R\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\right)=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\cdot R\)

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuýen

nên AB=AC và AO là phân giác của góc BAC

mà OB=OC

nên OA là trug trực của BC

=>OA vuông góc với BC

Xét ΔOBA vuôg tại B có cos BOA=OB/OA=1/2

nên góc BOA=60 độ

=>góc BOK=60 độ

mà OB=OK

nên ΔOKB đều

b: \(AB=AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

góc DOC=180-120=60 độ

=>góc COE=60/2=30 độ

Xét ΔOCE vuông tại C có tan EOC=EC/OC

=>EC/R=tan 30

=>\(EC=R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(AE=R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}+R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5}{6}\sqrt{3}\cdot R\)

a, Sử dụng AQ//O'P

=>  Q A P ^ = O ' A P ^ => Đpcm

b, CP//BR (cùng vuông góc AR)

a: góc OBA+góc OCA=180 độ

=>ABOC nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC

b: Xét ΔABF và ΔAEB có

góc ABF=góc AEB

góc BAF chung

=>ΔABF đồng dạng với ΔAEB

=>AB/AE=AF/AB

=>AB^2=AE*AF

a: Sửa đề: cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C

ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b:ΔOAC=ΔOBC

=>CB=CA

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BA

=>OC\(\perp\)AB

mà OC//AD

nên AB\(\perp\)AD

=>ΔABD vuông tại A

Ta có: ΔABD vuông tại A

=>ΔABD nội tiếp đường tròn đường kính DB

mà ΔABD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của DB

=>D,O,B thẳng hàng

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔCAO vuông tại A có

\(\widehat{ADK}=\widehat{COA}\)(hai góc so le trong, AD//CO)

Do đó: ΔAKD\(\sim\)ΔCAO