Lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Xét ΔEBC có

BA là đường trung tuyến

BA=CE/2

Do đó: ΔEBC vuông tại E

Xét ΔCBE có AH//BE

nên AH/BE=CH/CB=1/2

=>AH=1/2BE

Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Xét \(\Delta ACH;\Delta BCK\) có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\left(chung\right)\\\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACH\sim\Delta BCK\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{CH}{CK}\)

\(\Rightarrow AH.CK=BK.CH\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=BK^2.CH^2\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

\(\Rightarrow AH^2.\left(BC^2-BK^2\right)=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

Chia cả 2 vế cho: \(AH^2.BC^2.BK^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Từ H kẻ \(HD\perp AC\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)

Mà ABC cân tại A \(\Rightarrow\) H là trung điểm BC \(\Rightarrow HC=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác BCK

\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao HD ứng với cạnh huyền:

\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Do tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là trung tuyến

Hay H là trung điểm BC \(\Rightarrow CH=\dfrac{BC}{2}\)

Từ H hạ HD vuông góc AC

\(\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác ACH

\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH:

\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\Rightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)

Lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Xét ΔEBC có

BA là đường trung tuyến

BA=CE/2

Do đó: ΔEBC vuông tại E

Xét ΔCBE có AH//BE

nên AH/BE=CH/CB=1/2

=>AH=1/2BE

Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Xét ΔEBC có

BA là đường trung tuyến

BA=CE/2

Do đó: ΔEBC vuông tại E

Xét ΔCBE có AH//BE

nên AH/BE=CH/CB=1/2

=>AH=1/2BE

Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Tam giác ABC cân ở A có đường cao AH=>BC=2CH

Ta có:\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AH^2+BC^2}{4BC^2AH^2}=\dfrac{4AH^2+\left(2CH\right)^2}{16S_{ABC}^2}=\dfrac{4\left(AH^2+CH^2\right)}{16S^2_{ABC}}\)

Do AH vuông góc với BC nên theo pytago AH²+CH²=AC²

=>\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AC^2}{16S^2_{ABC}}=\dfrac{AC^2}{4\cdot\left(\dfrac{1}{2}AC\cdot BK\right)^2}=\dfrac{1}{BK^2}\left(ĐPCM\right)\)

Tham khảo

Lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Xét ΔEBC có

BA là đường trung tuyến

BA=CE/2

Do đó: ΔEBC vuông tại E

Xét ΔCBE có AH//BE

nên AH/BE=CH/CB=1/2

=>AH=1/2BE

Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)