b) Ta có DF // BC (cmt) hay DI // BE; D là trung điểm của AD ⇒ I là trung điểm của AE và DI = BE/2

Trong ΔAEC có IF là đường trung bình nên IF = EC/2 mà EC = EB (gt) ⇒ IF = ID hay I là trung điểm của DF.

Lần lượt cm được DE,DF,EF là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC=7\left(cm\right);DF=\dfrac{1}{2}AC=5\left(cm\right);EF=\dfrac{1}{2}AB=3\left(cm\right)\)

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD và BCD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

( 1 )      FI//BD       ( 2 )       FI = a

( 3 )      EI = a       ( 4 )      EI//AC

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và ACD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

   ( 1 ) FI//BD       ( 2 ) FI = a

   ( 3 ) EI = a       ( 4 ) EI//AC

Hình thì bạn tự vẽ đi nha. Bn không làm đc nhưng cũng phải vẽ hình đc.

Trong ΔABC: DA = DB (GT); EA = EC (GT)

=> DE là đường trung bình

=> DE = 1/2 BC = 1/2 14 = 7 (cm)

Trong ΔABC: DA = DB (GT); FB = FC (GT)

=> DF là đường trung bình

=> DF = 1/2 AC = 1/2 10 = 5 (cm)

Trong ΔABC: EA = EC (GT); FC = FB (GT)

=> EF là đường trung bình

=> EF = 1/2 AB = 1/2 6 = 3 (cm)

Vậy DE = 7cm; DF = 5cm; EF = 3cm.

Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.

b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:

- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)

- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)

- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)

Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.

c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.

- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.

- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.

Do đó, ta có AM = AN.

- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)

- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.

Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.

Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.

a) Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD=BD

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HE=AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(3)

Ta có: HD=AD

nên D nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: HE=AE

nên E nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE là đường trung trực của AH

b) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC

hay DE//HF

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(DF=\dfrac{AC}{2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra DF=HE

Xét tứ giác DEFH có DE//HF(cmt)

nên DEFH là hình thang

mà DF=HE(cmt)

nên DEFH là hình thang cân

góc BEC=1/2*180=90 độ

góc BDC=1/2*180=90 độ

Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

DB cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại F

góc MDO=góc MDH+góc ODH

=góc MHD+góc DBC

=góc HBF+góc FHB=90 độ

=>DM là tiếp tuyến của (O)

                          

Xét \(\Delta ABC\)có: D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC

\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE=\frac{1}{2}.BC=\frac{1}{2}.14=7\left(cm\right)\)

Tương tự ta có:

DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow DF=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)\)

EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}.AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Vậy \(DE=7cm\), \(DF=5cm\), \(EF=3cm\)