Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)

thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:

\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Bài 2:

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)

=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2

=>x=1/4; y=-2

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

=>y=6 và x-2=5/4

=>x=13/4; y=6

c: =>x+y=24 và 3x+y=78

=>-2x=-54 và x+y=24

=>x=27; y=-3

d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)

=>y+2=1 và x-1=25

=>x=26; y=-1

áp dụng bất đẳng thức mincopski ta có :

\(S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{9}{3}\right)^2}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow GTNN\) của \(S\) là \(3\sqrt{2}\) dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+ac+bc}{abc}=0\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)

Vì a,b>0\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}>0\)

Mà \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

Suy ra \(\dfrac{1}{c}< 0\Leftrightarrow c< 0\)

\(\Leftrightarrow c+\left|c\right|=0\Leftrightarrow c+\sqrt{c^2}=0\Leftrightarrow c+\sqrt{ab+ac+bc+c^2}=0\)(vì ab+ac+bc=0)\(\Leftrightarrow c+\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}=0\Leftrightarrow c+\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=0\Leftrightarrow2c+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=0\Leftrightarrow a+b=a+b+2c+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\Leftrightarrow a+b=\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\left(a+c\right)\Leftrightarrow a+b=\left(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{\left(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\right)^2}\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)