\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

a)\(x\in R\)

b)\(x\ne1\)

c) \(x\notin\left\{1;2\right\}\)

d) \(x\notin\left\{3;-3\right\}\)

e) \(x\ne1\)

f) \(x\notin\left\{2;3\right\}\)

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Chia nhỏ ra

a: =>1/2x=7/2-2/3=21/6-4/6=17/6

=>x=17/3

b: =>2/3:x=-7-1/3=-22/3

=>x=2/3:(-22/3)=-1/11

c: =>1/3x+2/5x-2/5=0

=>11/15x=2/5

hay x=6/11

d: =>2x-3=0 hoặc 6-2x=0

=>x=3/2 hoặc x=3

Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bài 3:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)

\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)

Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài 1: Thiếu đề.

Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)

Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

Bài 5:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ac+bc-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\) \((1)\)

Lại có:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

b) Để CM \(\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a}\) ta cần chỉ ra:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{c+a}\), \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b}\)

Xét hiệu \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}=\frac{2b+a+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{1}{a+c}=\frac{b(a+c-b)+a^2+c^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Vì \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác nên hiệu trên luôn lớn hơn $0$

Do đó \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)

Hoàn toàn tương tự với các hiệu còn lại, ta thu được đpcm.

5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y

Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)

Vậy ta suy ra đpcm

b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b

Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

.Tương tự:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)

Vậy ta có đpcm

6) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)

\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)

Suy ra đpcm

4) a) Thiếu điều kiện \(x\ge0\)

Xét hiệu: \(x^3+4x+1-3x^2=x\left(x-2\right)^2+x^2+1>0\)

Suy ra đpcm

b) \(x^4-x+\dfrac{1}{2}=x^4-x^2+\dfrac{1}{4}+x^2-x+\dfrac{1}{4}=\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Không xảy ra dấu bằng => đpcm