Gọi \(Q_{\left(G,120^0\right)}\) là phép quay tâm G góc \(120^0\). Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P

Gọi Q G ; 120 ο  là phép quay tâm G góc 120 ο . Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự  Q G ; 120 ο  cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra GP = GN, GQ = GM. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì  Q G ; 120 ο  biến PQ thành NM nên PQ = NM. Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau. Do đó ∠NQM = ∠PMQ. Tương tự ∠QNP = ∠MPN.

Từ đó suy ra P N Q ^   +   N Q M ^   =   180 o

Do đó NP // QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.

Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA

nên ΔDAC cân tại D

=>M là trung điểm của AC

a/ 

Ta có BG vuông góc AB; CH vuông góc AB => BG//CH

Ta có BH vuông góc AC; CG vuông góc AC => BH//CG

=> BHCG là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh dối // với nhau từng đôi một)

M là giao 2 đường chéo của hình bình hành BHCG => M là trung điểm của BC (trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

b/ Ta có H trực tâm của tg ABC => AH vuông góc BC; AB vuông góc CE => ^PAH = ^HCM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)

Ta có PQ vuông góc HG (đề bài) và AB vuông góc CE (đề bài) => ^APH = ^CHM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2)

Từ (1) và (2) => tg CMH đồng dạng với tg AHP

c/ 

sai hay đúng?

a)Xét tam giác AHB và tam giác AHE ( đều vuông tại H )

      AH là cạnh chung

      \(\widehat{BAH}=\widehat{HAE}\)(Vì AD là tia phân giác)

            \(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHE\)(cạnh góc vuông và  góc nhọn kề cạnh ấy)

b)Vì AH vừa là tia phân giác vừa là tia vuông góc 

       \(\Rightarrow\Delta ABE\) là tam giác cân mà lại có góc BAE bằng 60⁰

      \(\Rightarrow\Delta ABE\) là tam giác đều\(\Rightarrow\)AH cũng là đường trung tuyến \(\Rightarrow\)BH=HE(1)

              Vì KH//AB\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{HKE};\widehat{KHE}=\widehat{ABE}\)

                       Mà góc KEH chung

       \(\Rightarrow\Delta KHE\) là tam giác đều

        \(\Rightarrow KH=HE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:KH=HB=HE

      Theo định lý nếu trong tam giác cạnh đối diện với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì tam giác đó vuông

 \(\Rightarrow\Delta BKE\) vuông tại K

   \(\Rightarrow\widehat{BKE}=90^0\)