Question

Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60 ο . Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Answer 1

Gọi Q G ; 120 ο  là phép quay tâm G góc 120 ο . Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự  Q G ; 120 ο  cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra GP = GN, GQ = GM. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì  Q G ; 120 ο  biến PQ thành NM nên PQ = NM. Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau. Do đó ∠NQM = ∠PMQ. Tương tự ∠QNP = ∠MPN.

Từ đó suy ra P N Q ^   +   N Q M ^   =   180 o

Do đó NP // QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.