Gợi ý nhé!  Tách rồi sử dụng Cauchy cho hai số ko âm

\(P=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+2\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{3.12}+2\sqrt{16}+2.6=32\)

"=" xảy ra <=> x=2; y=4

Ta có : \(P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\) 

\(P=2\left(x+y\right)+\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)\)  

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(3x+\frac{12}{x}\ge2\sqrt{\left(3.12\right)}=12\) 

\(y+\frac{16}{y}\ge2\sqrt{\left(1.16\right)}=8\) 

Ta có: \(x+y\ge6\) 

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)\ge12\) 

\(\Rightarrow P\ge12+12+8=32\)

Dấu''='' xảy ra khi:

 \(3x=\frac{12}{x}\) , \(x+y=6\) , \(y=\frac{16}{y}\) 

\(\Rightarrow x=2,y=4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32 khi x = 2, y = 4

Lời giải:

Thực hiện tách P:

\(P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)

\(P=2(x+y)+\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)\)

Theo đề bài: \(x+y\geq 6\Rightarrow 2(x+y)\geq 12\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(3x+\frac{12}{x}\geq 2\sqrt{3x.\frac{12}{x}}=12\)

\(y+\frac{16}{y}\geq 2\sqrt{y.\frac{16}{y}}=8\)

Do đó: \(P\geq 12+12+8=32\)

Vậy GTNN của \(P=32\Leftrightarrow (x,y)=(2,4)\)

P=5x+3y+12/x+16/y 
=3x+12/x+y+16/y+2(x+y) 
áp dụng cosi: 3x+12/x>=2√(3.12)=12 
y+16/y>=8 
lại có 2(x+y)>=2.6=12 
nên 
P>=12+8+12=32 
dấu = khi 3x=12/x và y=16/y và x+y=6 
==> x=2; y=4 
giá trị nhỏ nhất P=32 khi x=2; y=4

Ta có: \(x+y\ge6\Rightarrow x\ge6-y\)

Vậy GTNN của x là 6 - y.

Thay 6 - y vào biểu thức đã rút gọn có:

\(A=-2y^3+42y^2-176y-96\)

Giả sử y = 0, ,=> P = -232

Do y > 0 nên P > -232

Vậy: \(Min_P=-232\)

Ta có : \(x+y\ge6\Rightarrow x\ge6-y\\ \)

Vậy GTNN của x là 6-y

Thay \(6-y\) vào biểu thức đã rút gọn có : 

\(A=-2y^3+42y^2-176y-96\\ \)

Giả sử \(y=0\Rightarrow P=-232\)

Do \(y>0\) nên \(P>-232\)

Vậy Min \(P=-232\)

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(2P=6x+4y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)

\(=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+3\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{16}{y}}+3\cdot6=12+8+18=38\)( bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 6 )

=> P ≥ 19

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\\x+y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy MinP = 19

Ta có: \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\)

Vì \(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\left(x+y\right)\ge\frac{3}{2}.6=9\)

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6;\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=4\)

\(\Rightarrow P\ge9+6+4=19\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P là 19

`<=>2P=10x+6y+24/x+32/y`
`<=>2P=6x+24/x+2y+32/y+4x+4y`
`<=>2P=6(x+4/x)+2(y+16/y)+4(x+y)`
Áp dụng BĐT cosi:
`x+4/x>=4=>6(x+4/x)>=24`
`y+16/y>=8=>2(y+16/y)>=16`
Mà `x+y>=6=>4(x+y)>=24`
`=>2P>=24+16+24=64`
`=>P>=32`
Dấu "=" `<=>x=2,y=4`

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  đối với từng bộ số trong  \(D\)  ta có:

\(D=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+2\left(x+y\right)\ge2\sqrt{3x.\frac{12}{x}}+2\sqrt{y.\frac{16}{y}}+2.6=32\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy,  GTNN của  \(D\)  là  \(32\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

\(M=\frac{x^2+9y^2}{xy}-\frac{8y^2}{xy}\)

\(\ge\frac{2\sqrt{9x^2y^2}}{xy}-\frac{8.y.y}{xy}\)

\(\ge6-\frac{8.\frac{x}{3}.y}{xy}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 3y.

Vậy..

\(x\ge3y\Leftrightarrow\frac{x}{y}\ge3\)

\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

\(\text{Đặt}\frac{x}{y}=a\Rightarrow a\ge3,M=a+\frac{1}{a}\)

Dùng điểm rơi a=3

\(M=\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}\ge\frac{8}{9}a+\frac{2}{3}\ge\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)