\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=\left(n+1\right)n\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

Mặt khác n và n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\forall n\left(đpcm\right)\)

 n(2n-3)-2n(n+1) 
=2n^2-3n-2n^2-2n 
=-5n 
-5n chia het cho 5 voi moi so nguyên n vi -5 chia het cho 5 
vay n(2n-3)-2n(n+1) chia het cho 5

Ta có: \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\) = \(2n^2-3n-2n^2-2n\)

= \(-5n\)

Vì \(-5⋮5\) => -5n \(⋮\) 5

=> \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\) \(⋮\) 5 với mọi n \(\in\) Z

n(2n-3)-2n(n+1)=2n²-3n+2n²-2n=-5n \(⋮\) 5 với mọi n

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)

\(-5n\)chia hết cho \(5\)với mọi số nguyên \(n\)vì \(-5\)chia hết cho \(5\)

Vậy : \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)chia hết cho \(5\)

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1) 
=> đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=>\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Ta thấy \(n;\left(n+1\right);\left(n+2\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của 3 số tn liên tiếp luôn chia hết cho 6

=> \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)chia hết ch 6 ( đpcm )

Cấm ai chép ...............

Bài giải:

Ta có : (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 $⋮$ 5 nên 5n(5n + 4) $⋮$ 5 ∀n ∈ Z.

\((5n + 2)^2 - 4\) \(= (5n +2 )^2 - 2^2\)

\(= (5n +2 - 2) (5n + 2 + 2 )\)

\(= 5n(5n + 4)\)

\(\Rightarrow\) \(5\) \(⋮\) \(5\) nên \(5n(5n +4)\) \(⋮\) \(5\) với mọi số nguyên thuộc \(n\)

Vậy biểu thức \((5n + 2)^2 - 4\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên thuộc \(n\)

Ta có : (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 5 nên 5n(5n + 4) 5 ∀n ∈ Z.

xem lại câu a nhé bạn

Ta có : \(\left(5n+2\right)^2-4\)

         \(=\left(5n+2-2\right).\left(5n+2+2\right)\)

         \(=5n\left(5n+4\right)\)

Vì \(5⋮5\) nên \(\left(5n+2\right)^2-4⋮5\forall n\in Z\)

(5n+2)^2 - 4 = (25n^2 + 2*2*5n + 2^2) - 4 = 25n^2 + 20n + 4 - 4 
= 25n^2 + 20n = 5n(5n + 4) 

--> (52+2)^2 - 4 = 5n(5n + 4) 
Mà 5 chia hết cho 5 
-->5n(5n + 4) chia hết cho 5

Ta có: \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)\right]=n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên đa thức trên luôn chia hết hco 6 với mọi số nguyên thuộc n

Theo đề bài ta có:

n²(n+1)+2n(n+1)= (n+1) (n²+2n)

= n(n+1) (n+2)

Vì ta nhận thấy n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp (1)

và n(n+1) (n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

n(n+1) (n+2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

\(\text{Ta có : }n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ \left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)\\ n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3\left(1\right)\)

\(\text{Ta lại có: }2=1\cdot2\\ 3=1\cdot3\\ \Rightarrow\: ƯCLN_{\left(2;3\right)}=1\\ \Rightarrow2\text{ và }3\text{ là 2 số nguyên tố cùng nhau }\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\cdot3\\ \Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)⋮6\)