Cho hình bình hành ABCD. Dựng M sao cho: 2\(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)
Cho hình bình hành ABCD. Dựng M sao cho: \(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)
@Khôi Bùi, @DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, @Mysterious Person
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}\) . Mặt phẳng đi qua AM cắt SB, SC, SD thứ tự tại B' C' D'. Tính \(\dfrac{BB'}{SB'}+\dfrac{CC'}{SC'}+\dfrac{DD'}{SD'}\)
Gọi O là giao điểm AC và BD, theo t/c hình bình hành \(\Rightarrow O\) là trung điểm AC và BD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)
Từ giả thiết:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow5.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OS}\)
Hay M là điểm thuộc đoạn thẳng OS sao cho \(OM=\dfrac{1}{5}OS\) \(\Rightarrow SM=4MO\)
Do M thuộc OS \(\Rightarrow M\in\left(SAC\right)\), kéo dài AM cắt SC tại \(C'\) \(\Rightarrow C'\) là điểm cố định (bất chấp vị trí mặt phẳng (P))
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOC với 3 điểm A, M, C' thẳng hàng:
\(\dfrac{MS}{MO}.\dfrac{OA}{AC}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow\dfrac{CC'}{SC'}=\dfrac{1}{2}\)
Bây giờ tới B' và D'.
Cách đơn giản nhất là đề ko cho biết rõ về mp (P), nó chỉ cần chứa AM là đủ, do đó ta chọn vị trí đơn giản nhất của (P) để tính, đó là (P) song song BD. Khi đó, qua M kẻ đường thẳng song song BD lần lượt cắt SB, SD tại B' và D'
Theo định lý Talet:
\(\dfrac{BB'}{SB'}=\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{MO}{SM}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BB'}{SB'}+\dfrac{CC'}{SC'}+\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\)
Trong trường hợp ko muốn làm kiểu chọn mp đặc biệt này thì ta có thể chọn vị trí bất kì cho B', nhưng sẽ tốn thời gian hơn nhiều. Nếu em cần thì cũng có thể giải quyết theo cách ấy.
Tổng quát:
Trước hết ta nhắc lại định lý đồng phẳng: cho 3 vecto \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\), chúng đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực m; n sao cho \(\overrightarrow{a}=m.\overrightarrow{b}+n.\overrightarrow{c}\) (1)
Bây giờ ta dựa vào đó chứng minh định lý khác về đồng phẳng trong không gian:
4 điểm A;B;C;D đồng phẳng khi \(\overrightarrow{SD}=p.\overrightarrow{SA}+m.\overrightarrow{SB}+n.\overrightarrow{SC}\) với 1 điểm S là 1 điểm bất kì và \(m;n;p\) là các số thực thỏa mãn \(m+n+p=1\)
C/m: do A;B;C;D đồng phẳng \(\Rightarrow\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\) đồng phẳng
Theo (1), tồn tại các số thực m và n sao cho:
\(\overrightarrow{AD}=m.\overrightarrow{AB}+n.\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}=m\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SB}\right)+n\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SC}\right)\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{SD}=m.\overrightarrow{SB}+n.\overrightarrow{SC}+\left(1-m-n\right).\overrightarrow{SA}\)
Đặt \(1-m-n=p\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+n+p=1\\\overrightarrow{SD}=m.\overrightarrow{SB}+n.\overrightarrow{SC}+p.\overrightarrow{SA}\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Quay lại bài toán, ta tính toán cho trường hợp các điểm B' D' lần lượt nằm trên đoạn thẳng SB và SD (trường hợp có 1 điểm nằm ngoài tính y hệt).
Đặt \(\dfrac{SB}{SB'}=x;\dfrac{SC}{SC'}=y;\dfrac{SD}{SD'}=z\)
Do O là trung điểm AC và BD nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}\\\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+x.\overrightarrow{SB'}+y.\overrightarrow{SC'}+z.\overrightarrow{SD'}=5\overrightarrow{SM}\) (do \(\overrightarrow{SO}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{SM}\))
Do A;B'C'D' đồng phẳng nên tồn tại \(m+n+p=1\) sao cho \(\overrightarrow{SA}=m.\overrightarrow{SB'}+n.\overrightarrow{SC'}+p.\overrightarrow{SD'}\)
\(\Rightarrow\left(m+x\right)\overrightarrow{SB'}+\left(n+y\right)\overrightarrow{SC'}+\left(p+z\right)\overrightarrow{SD'}=5\overrightarrow{SM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{SM}=\dfrac{1}{5}\left(m+x\right)\overrightarrow{SB'}+\dfrac{1}{5}\left(n+y\right)\overrightarrow{SC'}+\dfrac{1}{5}\left(p+z\right)\overrightarrow{SD'}\)
Do M;B'C'D' đồng phẳng nên:
\(\dfrac{1}{5}\left(m+x\right)+\dfrac{1}{5}\left(n+y\right)+\dfrac{1}{5}\left(p+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m+n+p+x+y+z=5\)
\(\Leftrightarrow1+x+y+z=5\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}+\dfrac{SD}{SD'}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SB'+BB'}{SB'}+\dfrac{SC'+CC'}{SC'}+\dfrac{SD'+DD'}{SD'}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BB'}{SB'}+\dfrac{CC'}{SC'}+\dfrac{DD'}{SD'}=1\)
Cho hình bình hành ABCD. Dựng \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA};\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA};\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC};\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\). Chứng minh \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\) ?
Do \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MA}\) nên tứ giác NPAM là hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{NM}\). (1)
Mà \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}\) suy ra \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AD}\) . (2)
Mặt khác \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành). (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra:\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BC}\).
Mà \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}\).
Vì vậy hai điểm A và Q trùng nhau nên \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\).
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB
Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)
b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)
c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN
Vậy điểm P trùng với điểm O.
cho hình bình hành ABCD tìm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+\overrightarrow{2MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)
Gọi O là tâm bình hành
\(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow6\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
Dễ dàng nhìn ra trong hình bình hành ABCD tâm O thì: \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\end{cases}}\)--->thế lên trên:
\(\Rightarrow6\overrightarrow{MO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}\)---> Dễ dàng có được M là điểm cố định (Vì các điểm O,A,B đều cố định)
Vậy điểm M được xác định bằng cách lấy đường thẳng qua O song song AB rồi trong nửa mặt phẳng bờ là BD có chứa điểm C ta lấy điểm M thuộc đường thẳng vừa dựng được sao cho đoạn OM có độ dài đúng bằng 1/12 độ dài AB.
Gọi O là giao điểm hai đoạn thẳng AC và BD.
Dựng điểm M như sau:
Trên nửa mặt phẳng bờ AC phía B, vẽ tia Ot song song AB.
Trên tia này, Bạn lấy điểm M cách O một đoạn bằng MỘT PHẦN SÁU AB.
Đó là điểm cần tìm.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xác định vị trí điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AM}\). Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và dựng điểm K sao cho \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\). Khi đó, điểm K trùng với
Bài 1:
Gọi K là trung điểm của BC
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔCAB có
O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>OK là đường trung bình
=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)
=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)
=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)
Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)
=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)
=>M trùng với B
Bài 2:
Xét ΔABC có
M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MP là đường trung bình của ΔABC
=>MP//BC và MP=BC/2
=>MP=CN
mà MP//NC
nên MPCN là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)
=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)
=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
nên K trùng với P
Cho hình bình hành ABCD , gọi M là trung điểm BC, điểm I thỏa \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).Chứng minh rằng \(\overrightarrow{BI}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Cho hình bình hành ABCD . Ba điểm M,N,P thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB},2\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC},\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}\) Phân tích vecto AP theo hai vecto \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BD}\). Ta được
Cho hình bình hành ABCD xác định. Tìm điểm M thỏa mãn \(3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\)