Lời giải:
Nếu $a,b,c$ lập thành csc thì $b=a+m, c=a+2m$ với $m$ là công sai.

Khi đó:

$3(a^2+b^2+c^2)-6(a-b)^2=3[a^2+(a+m)^2+(a+2m)^2]-6(a-a-m)^2$

$=3(a^2+a^2+m^2+2am+a^2+4m^2+4am)-6m^2$

$=3(3a^2+5m^2+6am)=9a^2+15m^2+18am-6m^2$

$=9a^2+9m^2+18am$

$=9(a^2+m^2+2am)=9(a+m)^2=(3a+3m)^2$

$=(a+a+m+a+2m)^2=(a+b+c)^2$ (đpcm).

\(VT=\frac{b-a+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-b+b-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-c+c-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{-1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)

\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}=VP\)

Ta có: 

\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=-\left(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\right)\)

\(=2.\frac{-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=2.\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)

Ta có ; \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\)

\(\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{\left(b-a\right)-\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\)

\(\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{\left(c-b\right)-\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)

Cộng các vế lại với nhau được điều phải chứng minh.

A , B , C khác nhau thì bạn làm sao có thể cho : A-C = B đc ?
 

vo ly qua

Đặt \(\frac{\left(a+b-c\right)}{2}=x;\frac{\left(c+a-b\right)}{2}=y;\frac{\left(b+c-a\right)}{2}=z\) thì x, y, z > 0(do a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác)

Và \(a=x+y;b=x+z;c=y+z\)

Thay vào, ta cần chứng minh: \(2\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+6xyz\right]>0\) (luôn đúng do x, y, z > 0)

Done!

ffjgukgkkgk

tách hết ra rồi chuyển vế đổi dấu ra... => ĐPCM

Vì a=b=c nên ta có:

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=3\left(b^2+b^2+b^2-b^2-b^2-b^2\right)=0\left(1\right)\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)đpcm

@Bùi Hiền