a) Tam thức \(f(x) =  - 5{x^2} + x - 1\) có \(\Delta  =  - 19 < 0\), hệ số \(a =  - 5 < 0\) nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(\)\( - 5{x^2} + x - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} - 8x + 16\) có \(\Delta  = 0\), hệ số a=1>0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne 4\), tức là \({x^2} - 8x + 16 > 0\) với mọi \(x \ne 4\)

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

c) Tam thức \(h(x) = {x^2} - x + 6\) có \(\Delta  =  - 23 < 0\), hệ số a=1>0 nên h(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \({x^2} - x + 6 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm.

a.

\(3\sqrt{-x^2+x+6}\ge2\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-x^2+x+6\ge0\\1-2x< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1-2x\ge0\\9\left(-x^2+x+6\right)\ge4\left(1-2x\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-2\le x\le3\\x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\25\left(x^2-x-2\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\-1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le x\le3\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+8x+5}-4\sqrt{x}+\sqrt{2x^2-4x+5}-2\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+8x+5-16x}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-4x+5-4x}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-8x+5\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{6}}{2}\)

Câu b còn 1 cách giải nữa:

Với \(x=0\) không phải nghiệm

Với \(x>0\) , chia 2 vế cho \(\sqrt{x}\) ta được:

\(\sqrt{2x+8+\dfrac{5}{x}}+\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=6\)

Đặt \(\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=t>0\Leftrightarrow2x+8+\dfrac{5}{x}=t^2+12\)

Phương trình trở thành:

\(\sqrt{t^2+12}+t=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+12}=6-t\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-t\ge0\\t^2+12=\left(6-t\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\le6\\12t=24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4+\dfrac{5}{x}=4\)

\(\Rightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

a) \(2{x^2} + 3x + 1 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 3x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x =  - 1,x = \frac{{ - 1}}{2}\)

hệ số \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x \ge  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

b) \( - 3{x^2} + x + 1 > 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6},x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6} < x < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{{1 - \sqrt {13} }}{6};\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}} \right)\)

c) \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 4x + 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

hệ số \(a = 4 > 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)

d) \( - 16{x^2} + 8x - 1 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 16{x^2} + 8x - 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{4}\)

hệ số \(a =  - 16 < 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{4}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\)

e) \(2{x^2} + x + 3 < 0\)

Ta có \(\Delta  = {1^2} - 4.2.3 =  - 23 < 0\) và có \(a = 2 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(2{x^2} + x + 3\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + x + 3 < 0\) là \(\emptyset \)

g) \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 4x - 5\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right) =  - 11 < 0\) và có \(a =  - 3 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - 3{x^2} + 4x - 5\) mang dấu “-” là \(\mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\) là \(\mathbb{R}\)

Trả lời:

\(\frac{x-1}{2x^2-4x}-\frac{7}{8x}=\frac{5-x}{4x^2-8x}-\frac{1}{8x-16}\)\(\left(đkxđ:x\ne0;x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{2x\left(x-2\right)}-\frac{7}{8x}=\frac{5-x}{4x\left(x-2\right)}-\frac{1}{8\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x-1\right)}{8x\left(x-2\right)}-\frac{7\left(x-2\right)}{8x\left(x-2\right)}=\frac{2\left(5-x\right)}{8x\left(x-2\right)}-\frac{x}{8x\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow4\left(x-1\right)-7\left(x-2\right)=2\left(5-x\right)-x\)

\(\Leftrightarrow4x-4-7x+14=10-2x-x\)

\(\Leftrightarrow10-3x=10-3x\)

\(\Leftrightarrow-3x+3x=10-10\)

\(\Leftrightarrow0x=0\)( luôn thỏa mãn )

Vậy S = R với \(x\ne0;x\ne2\)

ta có : \(x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) bất phương trình \(x^2-8x+16< 0\) vô nghiệm

a:=>6x^2-8x+4x-6x^2<-4

=>-4x<-4

=>x>1

b: =>6x+8x^2-8x^2-24x>5

=>-18x>5

=>x<-5/18

a)\(6x^2-8x+2x\left(2-3x\right)< -4\)

\(\Leftrightarrow6x^2-8x+4x-6x^2< -4\)

\(\Leftrightarrow-4x< -4\)

\(\Leftrightarrow-4x.\dfrac{-1}{4}>-4\cdot\dfrac{-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x>1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(S=\left\{xIx>1\right\}\)

b)\(2\left(3x+4x^2\right)-8x\left(x+3\right)>5\)

\(\Leftrightarrow6x+8x^2-8x^2-24x>5\)

\(\Leftrightarrow-18x>5\)

\(\Leftrightarrow-18x\cdot\dfrac{-1}{18}< 5\cdot\dfrac{-1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x< -\dfrac{5}{18}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(S=\left\{xIx< -\dfrac{5}{18}\right\}\)