\(a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) \(\forall a\)

\(P=\frac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}=\sqrt{a^2+a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}\ge2\) (Cô-si)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2+a+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Ta thấy : \(a^2\ge0\forall a\)

=> \(a^2+2\ge2\forall a\)

Mà \(\sqrt{a^2+1}>0\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) ( đpcm )

\(\begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\forall a\in \mathbb{R} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+1 \right)-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0 \text{(luôn đúng)} \\ \end{align} \)

CÁCH KHÁC:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

\(\dfrac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1+1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\sqrt{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{a}^{2}}+1}.\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}}=2\left( dpcm \right)\)

a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)

<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)

<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)

<=> \(a^2-20a+100\ge0\)

<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Dấu "="xảy ra <=> a=10

=> (1) đc CM

b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có

\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=0

a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)

Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)

Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:

 \(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)

Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Đặt  \(P=a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta được:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\)

Áp dụng bất đẳng thức  Cô-si với bộ  \(\left(a+b\right)^2\) và  \(\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta có:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\ge2\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2}-2ab=2\left(1+ab\right)-2ab=2\)

moi hok lop 6

1)đề thiếu

2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Đpcm

3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

Đpcm

P OI cai nay dung bat dang thuc co si do

k biết làm mà!! )))

a) có \(\sqrt{x^2+2x+5}=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\)Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\rightarrow\left(x+1\right)^2+4\ge0+4=4\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+5}\ge\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=-1.\)

b) \(x>\sqrt{x}\Leftrightarrow x^2>x\Leftrightarrow x^2-x>0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\ge0\)

Vì \(x>1\rightarrow x>0;x-1>0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)>0\) với mọi \(x>1\)

hay \(x>\sqrt{x}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

a)

√(x^2+2x+5)>2

<=>x^2+2x+5>4

<=>x^+2x+1>0

(x+1)^2 > 0 =>dpcm

b)

x>1<=>x^2>x

x(x-1)>0

luon dung

1/ Sửa đề:   \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)

Với mọi x, y, z ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)

\(\Rightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Do đó dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = y = z

3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\)   \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)    \(a^2-2ab+b^2\ge0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)