Question

Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)với mọi a

 

Answer 1

Tích chéo bình phương chuyển vế

Answer 2

\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Answer 3

Ta có: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\left(\sqrt{a^2+1}\right)^2+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

Áp dụng bđt cô - si, ta có:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.\sqrt{a^2+1}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0