b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(-m^2-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+4m^2+8m=8m^2+4>0\)

Vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(x_1^2+x_2^2+4x_1x_2=36\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2=36\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2+2\left(-m^2-2m\right)=36\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m^2-4m-36=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-12m-32=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-8\right)\left(m+2\right)=0\)

hay \(m\in\left\{8;-2\right\}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-3x-m^2+1=0\)

\(a=1;b=-3;c=-m^2+1\)

\(\text{Δ}=9-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)

\(=9+4m^2-4=4m^2+5>0\)

Do đó: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2=-x^2-\left(m+2\right)x-2\left(m+1\right)\)

=>\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2+x^2+\left(m+2\right)x+2\left(m+1\right)=0\)

=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+2\left(m+1\right)+\left(m+1\right)^2=0\)

=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+\left(m^2+4m+3\right)=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m^2-32m-24\)

\(=-4m^2-24m-20\)

\(=-4\left(m^2+6m+5\right)=-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)\)

Để (P1) cắt (P2) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>\(-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)>0\)

=>\(\left(m+1\right)\left(m+5\right)< 0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m+5< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m< -5\end{matrix}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m+5>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>-5\end{matrix}\right.\)

=>-5<m<-1

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(2m+2\right)}{2}=-m-1;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4m+3}{2}\)

\(P=\left|x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)\right|\)

\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}-3\left(-m-1\right)\right|\)

\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}+3m+3\right|\)

\(=\dfrac{\left|m^2+4m+3+6m+6\right|}{2}=\dfrac{\left|m^2+10m+9\right|}{2}\)

Biểu thức này không có giá trị lớn nhất nha bạn

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x+2m-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+(1-2m)=0(*)$

Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=1-(1-2m)=2m>0\Leftrightarrow m>0$

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=1-2m$

Khi đó:

$x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8$

$\Leftrightarrow 2(1-2m)^2-[2^2-2(1-2m)]=8$

$\Leftrightarrow 8m^2-12m=8$

$\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0$

$\Leftrightarrow (m-2)(2m+1)=0$

$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$

Vì $m>0$ nên $m=2$

Cắt đồ thị nào vậy bạn?

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m-2\right)x-5=0\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+5>0;\forall m\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2< 0\\x_1< x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2+2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow-x_1+x_2+2=10\Leftrightarrow x_2-x_1=8\)

 \(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=64\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=64\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+20=64\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=11\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{11}\\m=2-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x+4=2mx-m^2\)

=>\(x^2-2x+4-2mx+m^2=0\)

=>\(x^2-x\left(2m+2\right)+m^2+4=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>8m-12>0

=>8m>12

=>\(m>\dfrac{3}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m-2\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4}{1}=m^2+4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+12+4\)

=>\(x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2=3x_1x_2+4\)

=>\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)=4\)

=>\(4m^2+8m+4-4m^2-16=4\)

=>8m-12=4

=>8m=16

=>m=2(nhận)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=2x-m+1\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+m-1=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\left(m-1\right)\)

\(=4-2\left(m-1\right)=4-2m+2=-2m+6\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>-2m+6>0

=>-2m>-6

=>m<3

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)\cdot x_1x_2+48=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(m-1\right)\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\cdot\left[4^2-2\cdot2\left(m-1\right)\right]+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(16-4m+4\right)+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(-4m+20\right)+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(-m+5\right)+12=0\)

=>\(-m^2+5m+m-5+12=0\)

=>\(-m^2+6m+7=0\)

=>\(m^2-6m-7=0\)

=>(m-7)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=7\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)