tìm GTNN của \(P=\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{b^2}{b+2c}+\dfrac{c^2}{c+2a}\) với \(a +b+c=3\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : \(\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{c}=3\)
Tìm GTNN của : \(A=\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}+\dfrac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}+\dfrac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\)
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{ab}{a+2b}+\dfrac{bc}{b+2c}+\dfrac{ca}{c+2a}\)
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Ta có: P= \(2a+3b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\) = \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)+\left(\dfrac{4}{b}+b\right)+\left(a+2b\right)\)
Ta thấy: \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot a}=2\)
\(\text{}\text{}\left(\dfrac{4}{b}+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{b}\cdot b}=4\)
Do đó: P \(\ge2+4+5=11\)
Vậy: P(min)=11 khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=a\\\dfrac{4}{b}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right..\)
Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN:
a, \(A=\dfrac{a^2}{2b+5c}+\dfrac{b^2}{2c+5a}+\dfrac{c^2}{2a+5b}\) với abc = 8
b, \(B=\dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}\) với abc = 1
c, \(C=\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ca}{c+a}+\dfrac{c+ab}{a+b}\) với a + b + c = 1
d, \(D=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\) với \(a^2+b^2+c^2\ge3\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm GTNN của:
\(T=\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ca}{b^2c+b^2a}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(T=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
\(\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}\) (theo BĐT AM-GM)
Vậy $T_{\min}=\frac{3}{2}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
Cho 0<a, b, c<1; ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của \(P=\dfrac{a^2.\left(1-2b\right)}{b}+\dfrac{b^2.\left(1-2c\right)}{c}+\dfrac{c^2.\left(1-2a\right)}{a}\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm gtnn của P=\(\dfrac{2a+b+c}{a+1}+\dfrac{a+2b+c}{b+1}+\dfrac{a+b+2c}{c+1}\)
Ta có:
\(P=\dfrac{a+3}{a+1}+\dfrac{b+3}{b+1}+\dfrac{c+3}{c+1}\)
\(P=3+2.\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
\(P\ge3+2.\dfrac{9}{a+b+c+3}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(min_P=6\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,A=\(\dfrac{x+1}{\sqrt{x}-2}\) với x>4
b,B=\(\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ac}{b^2a+b^2c}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\) với a,b,c>0 và abc=1
\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)
\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)
b.
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
cho a,b,c>0 t/m a + b + c = 2. Tìm GTNN của
\(S=\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{2b+ca}}\)
Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}}\).
Ta có:
\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)