\(x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)\)

                      \(=xy\left(x^4-1+1-y^2\right)\)

                      \(=xy\left(x^4-1\right)-xy\left(y^4-1\right)\)

                       \(=xy\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y^2-1\right)\left(y^2+1\right)\)

                    \(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)\)

Xét \(xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)

 \(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)+5xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=y.\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

Do x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 là 5 số liên tiếp

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2;3;5\)

Mà (2;;3;5) = 1

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮\left(2.3.5=30\right)\)

\(\Rightarrow y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\)

Lại có \(5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2;3;5\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)

                                                          \(\Rightarrow5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)

Do đó \(y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)-5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)

\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)⋮30\)

Tương tự \(xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)

\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)

\(\Rightarrow x^5y-xy^5⋮30\)

a,Áp dụng BĐT AM- GM cho các số không âm, ta có:

\(x^2+y^2z^2\ge2xyz\)

b,\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\left(1\right)\)

Vì \(x^2+xy+y^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

a) bpt <=> x² - 2xyz + y²z² ≥ 0

<=> (x - yz)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x = yz

b) bpt <=> x⁴ - xy³ + y⁴ - x³y ≥ 0

<=> x(x³ - y³) - y(x³ - y³) ≥ 0

<=> (x - y)²(x² - xy + y²) ≥ 0

<=> (x - y)²[(x - \(\dfrac{1}{2}\)y)² + \(\dfrac{3}{4}\)y²] ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

để thiếu : \(x;y\in Z\) nha

ta có : \(\left(5x-3\right)\left(3y-5\right)-\left(3x-5\right)\left(5y-3\right)\)

\(=15xy-25x-9y+15-15xy+9x+25y-15\)

\(=-16x+16y=16\left(y-x\right)⋮16\forall x;y\in Z\left(đpcm\right)\)

- Câu a): *y^2 , sai đề y2.

Câu b:

Ta có: \(x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15\)

\(= (x^2 - 2x +1) + (4y^2 - 8y + 4) + (z^2 - 6z +9) +1\)

\(= (x-1)^2 + (2y-2)^2 + (z-3)^2 + 1\)

Mà \((x-1)^2 \geq 0; (2y-2)^2 \geq 0; (z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\) \((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\)\((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2+1> 0\)

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)

*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng

*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)

\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)

Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)

x³+y³\(\geq\) x²y + xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)

Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng

x³+y³\(\geq\) x²y+xy²

\(\Leftrightarrow\) x³+y³-x²y-xy²\(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) (x³-x²y) + (y³-xy²) \(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) x²(x-y) - y²(x-y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x²-y²) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0 (1)

Ta có (x-y)²\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)

Nên bất phương trình (1); (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)

Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:

x³+y³\(\geq\) x²y+xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.

a) Ta có \(A=a^3-6a^2-7a+12=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+12\right)=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+6\right)+6\left(a-1\right)\)

=\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-3\right)+6\left(a-1\right)\)

Mà (a-1)(a-2)(a-3) là tích 3 số nguyên liên tiếp => cúng chia hết cho 6 => ... chia hết cho 6(ĐPCM)

^_^

Có ai kg giúp mình bài này với

b) Ta có \(x^2-24=y\left(x+5\right)\Leftrightarrow y=\frac{x^2-24}{x+5}=\frac{x^2-25}{x+5}+\frac{1}{x+5}=x-5+\frac{1}{x+5}\)

Đến đây tìm nghiệm của 1 

Thay \(x=0;y=0\) vào giả thiết ta được \(f\left(0\right)=0\)

Thay \(y=0\) ta được \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f\) là hàm lẻ

(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: \(x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)\) hoặc là \(x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)\). Cái thứ nhất cho ta \(x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1\) , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho \(f\left(c\right)=-1\). Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là \(xy=-\dfrac{1}{2}\), vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì \(f\left(x.f\left(y\right)-y\right)\) chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho \(xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1\), thay vào \(xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\). Xong.)

Thế \(x=-1;y=\dfrac{1}{2}\) ta được:

\(f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

Đặt \(c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\) là 1 hằng số nào đó

\(\Rightarrow f\left(c\right)=-1\)

Thế \(y=c\) vào ta được:

\(f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x\) (1)

- Nếu \(c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x\) ko thỏa mãn \(f\left(0\right)=0\) 

\(\Rightarrow c\ne1\), khi đó đặt \(cx-x=t\) \(\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}\)

(1) trở thành \(f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t\)

Đặt \(\dfrac{2c}{c-1}=a\) \(\Rightarrow f\left(t\right)=a.t\) 

Hay hàm cần tìm có dạng \(f\left(x\right)=ax\) với a là hằng số

khó thế

P = x(x - y) - x + y²(x - y) - y² + 5

P = x - x + y² - y² + 5

P = 5
 

Q = x²(x - y) - x² + y²(x - y) - y² + 5(x - y) - 2015

Q = 5 - 2015

Q = -2010