Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Tuấn Hoàng

Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thoả mãn:

\(f\left(xf\left(y\right)-y\right)+f\left(xy-x\right)+f\left(x+y\right)=2xy,\forall x,y\in R\)

Em chỉ mới chứng minh được f là hàm lẻ ạ, mong mọi người giúp :'(

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 1 lúc 10:10

Thay \(x=0;y=0\) vào giả thiết ta được \(f\left(0\right)=0\)

Thay \(y=0\) ta được \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f\) là hàm lẻ

(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: \(x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)\) hoặc là \(x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)\). Cái thứ nhất cho ta \(x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1\) , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho \(f\left(c\right)=-1\). Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là \(xy=-\dfrac{1}{2}\), vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì \(f\left(x.f\left(y\right)-y\right)\) chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho \(xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1\), thay vào \(xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\). Xong.)

Thế \(x=-1;y=\dfrac{1}{2}\) ta được:

\(f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

Đặt \(c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\) là 1 hằng số nào đó

\(\Rightarrow f\left(c\right)=-1\)

Thế \(y=c\) vào ta được:

\(f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x\) (1)

- Nếu \(c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x\) ko thỏa mãn \(f\left(0\right)=0\) 

\(\Rightarrow c\ne1\), khi đó đặt \(cx-x=t\) \(\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}\)

(1) trở thành \(f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t\)

Đặt \(\dfrac{2c}{c-1}=a\) \(\Rightarrow f\left(t\right)=a.t\) 

Hay hàm cần tìm có dạng \(f\left(x\right)=ax\) với a là hằng số


Các câu hỏi tương tự
títtt
Xem chi tiết
Lê Song Phương
Xem chi tiết
Thầy Cao Đô
Xem chi tiết
đấng ys
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân Đình Lực
Xem chi tiết
Thái Hưng Mai Thanh
Xem chi tiết
Dương Nguyễn
Xem chi tiết
Phương Lee
Xem chi tiết
Dương Ngọc Ngoan
Xem chi tiết