Để ptr có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-16m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=4\end{matrix}\right.\)

để pt có no kép thì △'=0⇔m²-4m=0⇔\(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m=4\end{matrix}\right.\) 

m=0 thì x=0

m=4 thì x=4

Đáp án B.

Với x ∈ 5 2 ; 4  thì phương trình tương đương với:

m - 1 log 2 2 x - 2 + m - 5 log 2 x - 2 + m - 1 = 0             (1)

Đặt log 2 ( x - 2 ) = t . Với  x ∈ 5 2 ; 4  thì t ∈ - 1 ; 1 . Phương trình (1) trở thành:

( m - 1 ) t 2 + ( m - 5 ) t + m - 1 = 0 ⇔ m ( t 2 + t + 1 ) = t 2 + 5 t + 1 ⇔ m = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1  (2)

Xét hàm số  f ( t ) = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1 = 1 + 4 t t 2 + t + 1  trên đoạn  - 1 ; 1  .

Đạo hàm f ' ( t ) = - 4 ( t 2 - 1 ) t 2 + t + 1 ≥ 0 ,   ∀ t ∈ - 1 ; 1 ;   f ' ( t ) = 0 ⇔ t = ± 1 . Khi đó hàm số f ( t )  đồng biến trên  - 1 ; 1 . Suy ra min - 1 ; 1 f ( t ) = f ( - 1 ) = - 3 ;   max - 1 ; 1 f ( t ) = f ( 1 ) = 7 3 .

Phương trình (2) có nghiệm ⇔  Đường thẳng y - m  cắt đồ thị hàm số  f ( t ) ⇔ - 3 ≤ m ≤ 7 3 . Vậy S = - 3 ; 7 3 → a = - 3 ,   b = 7 3 → a + b = - 3 + 7 3 = - 2 3 .

Đáp án B.

Với x ∈ 5 2 ; 4  thì phương trình tương đương với:

m - 1 log x 2 x - 2 + m - 5 log 2 x - 2 + m - 1 = 0  (1)

Đặt log 2 x - 2 = t . Với  x ∈ 5 2 ; 4  thì t ∈ - 1 ; 1 . Phương trình (1) trở thành:

m - 1 t 2 + m - 5 + m - 1 = 0 ⇔ m t 2 + t + 1 = t 2 + 5 t + 1 ⇔ m = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1  (2)

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1 = 1 + 4 t t 2 + t + 1  trên đoạn - 1 ; 1  .

Đạo hàm f ' ( t ) = - 4 t 2 - 1 t 2 + t + 1 2 ≥ 0 , ∀ t ∈ - 1 ; 1 ; f ' ( t ) = 0 ⇔ t = ± 1 . Khi đó hàm số [-1;1] đồng biến trên [-1;1]. Suy ra   m i n [ - 1 ; 1 ] f ( t ) = f ( - 1 ) = - 3 m a x [ - 1 ; 1 ] f ( t ) = f ( 1 ) = 7 3 .

Phương trình (2) có nghiệm ⇔  Đường thẳng y - m  cắt đồ thị hàm số

f ( t ) ⇔ - 3 ≤ m ≤ 7 3 . Vậy S = - 3 ; 7 3 → a = - 3 b , b = 7 3 → a = - 3 , b = 7 3 → a + b = - 3 + 7 3 = - 2 3 .

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với log 2 x − 2  và đặt ẩn phụ t = log 2 x − 2  với  t ∈ − 1 ; 1

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

m − 1 log 1 2 2 x − 2 2 + 4 m − 5 log 1 2 1 x − 2 + 4 m − 4 = 0 x > 2

m − 1 log 2 2 x − 2 + m − 5 log 2 x − 2 + m + 1 = 0

Đặt  y = log 2 x − 2 ⇒ x ∈ 5 2 ; 4 ⇒ t ∈ − 1 ; 1

Phương trình đã cho trở thành:

m − 1 t 2 + m − 5 t + m + 1 = 0

⇔ m t 2 + t + 1 = t 2 + 5 t + 1 ⇔ m = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1 = 1 + 4 t t 2 + t + 1

vì  t 2 + t + 1 > 0 ∀ t ∈ − 1 ; 1

Xét hàm số: y = 1 + 4 t t 2 + t + 1  trên  − 1 ; 1

Có: y ' t = − 4 t 2 + 4 t 2 + t + 1 2

y ' x = 0 ⇔ − 4 t 2 + 4 t 2 + t + 1 2 = 0 ⇔ t = ± 1 ∈ − 1 ; 1

Ta có bảng biến thiên:

⇒ m ∈ − 3 ; 7 3 ⇒ a + b = − 2 3 .

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+4m+3=m^2+2m+4=\left(m+1\right)^2+3>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-4m-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác do \(x_1;x_2\) là nghiệm nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2\left(m-1\right)x_1-4m-3=0\\x_2^2-2\left(m-1\right)x_2-4m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2mx_1-4m=-2x_1+3\\x_2^2-2mx_2-4m=-2x_2+3\end{matrix}\right.\)

Thay vào bài toán:

\(\Leftrightarrow\left(-2x_1+3\right)\left(-2x_2+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow4x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+9< 0\)

\(\Leftrightarrow-16m-12-12m+12< 0\)

\(\Leftrightarrow-28m< 0\Rightarrow m>0\)

sai đề hay sao ý bạn ơi

\(\Rightarrow\)\(x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_1x_2+x_2^2+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow\left(4m\right)^2-x_1x_2+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow16m^2-\left(4m^2-6\right)+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow16m^2-4m^2+6+4m^2-6=0\)

\(\Rightarrow16m^2=0\Rightarrow m=0\)