=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)

=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]

vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.

Với mọi số thực ta luôn có:

`(a-b)^2>=0`

`<=>a^2-2ab+b^2>=0`

`<=>a^2+b^2>=2ab`

`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`

`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`

Dấu "=' `<=>a=b=1/2`

ta có:

(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²

⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²

⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)

⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)

dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2

Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)( a 2  – ab +  b 2 ) + (a – b)( a 2  + ab +  b 2 )

=  a 3  +  b 3  +  a 3  –  b 3  = 2 a 3  = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

VP `=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3`

`=a^3+b^3`

.

VP `=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3`

`=a^3-b^3`

đúng rồi mà

Ta có: \(a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Ta có: \(a^3-b^3\)

\(=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2+3ab\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Lời giải:

$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$

$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$

$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

⇔⎧⎪⎨⎪⎩a−b=0b−c=0c−a=0⇔{a−b=0b−c=0c−a=0