chứng minh rằng bất đẳng thức saux/y +y/x>2 (x và y cùng đấu)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh bất đẳng thức sau: x/y + y/x lớn hơn hoặc bằng 2 ( với x và y cùng dấu)
Chứng minh rằng bất đẳng thức: x/y + y/x >= 2( với x và y cùng dấu)
áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cách khác:
Đặt \(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)
\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
Lại có:\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge\dfrac{2xy}{xy}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra
x
y
−
z
;
y
z
−
x
;
z
x
−
y
”Một học s...
Đọc tiếp
Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”
Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:
(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.
(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:
(x – y + z)(x + y – z) < 0
(y – z + x)(y + z – x) < 0
(z – x + y)(z + x – y) < 0
(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x – y + z ) 2 (x + y – z)(-x + y + z) < 0 (vô lí)
Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoan nào?
A. (I)
B. (II)
C. (III)
D. Lý luận đúng
Chứng minh bất đẳng thức : x^2 + y^2 +2 >= (x+y)
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\)lớn hơn hoặc bằng 2( với x,y cùng dấu)
Vì x, y cùng dấu nên \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}>0\\\frac{y}{x}>0\end{cases}}\)
Ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\right)^2+2\ge2\)
Dấu = xảy ra khi x = y # 0
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) luôn đúng!
Đúng 0
Bình luận (0)
Thêm phát nữa cho vui
\(Hai.so.duong:\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}=2\\ \)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
Điều kiện là \(xy\ne0\)
BĐT tương đương:
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: \(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2.\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
Với x>=0, y>=0 . Chứng minh bất đẳng thức (√x+√y)^2 >= 2√[2(x+y)√xy]
chứng minh bất đẳng thức (x+y)^2>=4xy( với x,y thuộc R)
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng.
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" khi \(x=y\)
Đúng 0
Bình luận (0)