Question

Chứng minh rằng bất đẳng thức: x/y + y/x >= 2( với x và y cùng dấu)

Answer 1

áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)

⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Cách khác:

Đặt \(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)

\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)

Lại có:\(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge\dfrac{2xy}{xy}=2\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y