Question

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\frac{x+y+z}{3}\)

chứng minh bất đẳng thức trên

*vế bên phải là để trong ngoặc và bình phương nhé

Answer 1

Biến đổi tương đương thôi:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)