Sửa đề: AI vuông góc với BC

a) Xét ΔAIB vuông tại I và ΔAIC vuông tại I có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)

mà B,I,C thẳng hàng(gt)

nên I là trung điểm của BC(đpcm)

b) Ta có: ΔAIB=ΔAIC(cmt)

nên \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\)

Xét ΔEAI và ΔFAI có 

AE=AF(gt)

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\)(cmt)

AI chung

Do đó: ΔEAI=ΔFAI(c-g-c)

Suy ra: IE=IF(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔIEF có IE=IF(cmt)

nên ΔIEF cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)

c) Ta có: AE+EB=AB(E nằm giữa A và B)

AF+FC=AC(F nằm giữa A và C)

mà AE=AF(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên EB=FC

Xét ΔEBI và ΔFCI có 

EB=FC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

BI=CI(cmt)

Do đó: ΔEBI=ΔFCI(c-g-c)

a.

Ta có: I là đường cao cũng là đường trung tuyến trong tam giác cân ABC

=> I là trung điểm BC

b.

Xét tam giác AEI và tam giác AFI, có:

AE = AF ( gt )

góc EAI = góc FAI ( AI là đường cao cũng là đường phân giác )

AI: cạnh chung 

Vậy tam giác AEI = tam giác AFI ( c.g.c )

=> IE = IF ( 2 cạnh tương ứng )

=> Tam giác IEF cân tại I

c.

Ta có: AB = AC ( ABC cân )

Mà AE = AF ( gt )

=> BE = CF 

Xét tam giác BEI và tam giác CFI, có:

BE = CF ( cmt )

góc B = góc C ( ABC cân )

IB = IC ( gt )

Vậy tam giác BEI = tam giác CFI ( c.g.c )

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A:

AI là đường cao (AI vuông góc BC, I thuộc BC).

\(\Rightarrow\) AI là đường trung tuyến (T/c \(\Delta\) cân).

\(\Rightarrow\) I là trung điểm BC.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt).

\(\Rightarrow AB=AC;\widehat{B}=\widehat{C}\) (T/c \(\Delta\) cân).

Ta có: \(EB=AB-AE;FC=AC-AF.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AE=AF\left(gt\right).\\AB=AC\left(cmt\right).\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow EB=FC.\)

Xét \(\Delta EBI\) và \(\Delta FCI:\)

\(EB=FC\left(cmt\right).\\ \widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right).\)

\(IB=IC\) (I là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\Delta EBI\) \(=\Delta FCI\left(c-g-c\right).\)

\(\Rightarrow IE=IF\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow\Delta IEF\) cân tại I.

Chứng minh câu a

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

AI cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

Suy ra tam giác ABI = tam giác ACI ( c-g-c )

Suy ra BI = CI

b, xét tam giác AFI và tam giác AEI có : AI chung

FA = AE (gt)

^FAI = ^EAI do tam giác CAI = tam giác BAI (câu a)

=> tam giác AFI = tam giác AEI (c-g-c)

=> FI = EI 

=> tam giác EFI cân tại I