Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Em vừa giải ra, nhưng hy vọng tìm được cách đơn giản hơn.

Cách của em:

a+ b)

Dễ có AN là đường trung trực FE nên AF = FE.

^FAE=180^o - 2. ^AEF = 180^o - 2. ^CEB = 2. ^EBC

Dễ có BM là đường trung trực AN nên BN = BA.

Do đó tam giác NBA cân tại B.

Vậy BM là đường trung trực đồng thời là phân giác.

Vậy ^EBC = ^ABE suy ra ^FAE = 2. ^EBC = ^EBC +^ABE = ^CBA.

Ta có: ^FAB = ^FAE+^CAB=^CBA +^CAB = 90^o

Vậy FA là tiếp tuyến (O) (1)

Mặt khác tứ giác FNEA có FM = ME; MN = MA nên là hình bình hành.

Vậy FA // NE (2)

Từ (1) và (2) suy ra NE vuông góc với AB.

c) BM là đường trung trực AN nên BF là đường trung trực AN

Có ngay FN = FA \(\Rightarrow\widehat{FNA}=\widehat{FAN}\)

Dễ chứng minh $\Delta MBN = \Delta MBA$ nên $\widehat{ANB}=\widehat{NAB}$

$\widehat{FNB}=\widehat{FAN}+\widehat{NAB}=\widehat{FAB}=90^o$

d) $BF^2-FN^2 =BN^2 = BM \cdot BF$

Em nghĩ quá phức tạp :D

\(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ACB}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AC và BM là 2 đường cao của tam giác ABN

\(\Rightarrow\) E là trực tâm \(\Rightarrow NE\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow NE\perp AB\)

a) Xét tam giác AMB có :

MO = OA = OB ( =bk )

\(\Rightarrow MO=\frac{1}{2}AB\)

=> Tam giác AHB vuông tại M

=> EM là đường cao của tam giác ANE

- Xét tam giác ACB có : OC = OB = OA ( =bk )

\(\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow\Delta ACB\)vuông tại C

=> NC là đường cao của tam giác ANE

=> B là giao điểm 3 đường cao của tam giác ANE

=> AB là đường cao của tam giác ANE

Vậy : \(NE\perp AB\left(đpcm\right)\)

b) Xét 2tam giác : MAF và MNE

                       Có : MA = MN (gt) 

                              MF = ME ( gt )

                              ^AMF = ^NME ( đối đỉnh )

do đó : \(\Delta MAF=\Delta NME\left(c-g-c\right)\)

=> ^AFM = ^NEM

Mà 2 góc ^AFM và ^NEM có vị trí so le 

=> AF // NE

Mà : \(NE\perp AB\)( c/m câu a ) => \(AF\perp AB\)tại A

Vậy : FA là tiếp tuyến đường tròn (O) ( đpcm )

c) Ta có : ^AMB = 90^o => \(FB\perp AN\)

                      MA = MB

=> FB là đường trung trực của AN

=> BN = BA ; FN = FA

- Xét 2 tam giác : ABF và NBF có : BN = BA ; FN = FA

FB chung

\(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta NBF\left(c-c-c\right)\)

=> ^BNF = ^BAF = 90^o

\(\Rightarrow BN\perp FN\)tại B mà BN = BA

Vậy : FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ; BA ) ( đpcm )

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xet ΔNAB có

AC.BM là các đường cao

AC cắt BM tại E

Do đó: E là trực tâm

=>NE vuông góc với AB

b: Xét tứ giác NEAF có

M là trung điểm chung của NA và EF

nên NEAF là hình bình hành

=>NE//AF

=>AF vuông góc với AB

=>FA là tiêp tuyến của (O)

Bạn tự vẽ hình nha ;)

a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:

\(\left\{\begin{matrix}C\in\left(O\right)\\M\in\left(O\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta ABC\\\Delta ABM\end{matrix}\right.vuông \Rightarrow\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta ABN\) có: \(\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)(c/m trên)

Mà AC và BN cắt nhau tại E

=> \(NE\perp AB\)

b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => \(NI\perp AB\)

Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M

Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)

M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)

=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => \(\widehat{NAF}=\widehat{ANI}\) (1) ( 2 góc so le trong)

Xét \(\Delta ANI\) vuông tại I( NI\(\perp AB\)) có: \(\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90^o\) (2) ( 2 góc nhọn phụ nhau)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{NAF}+\widehat{NAI}=90^o\) => \(\widehat{OAF}=90^o\) => OA\(\perp\)FAtại A

Xét đg tròn(O; OA) có: \(OA\perp FA\) tại A(c/m trên)

=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)

c) Xét \(\Delta ABN\) có:

BM là trung tuyến ứng vs AN( M là trung điểm của AN)

đồng thời BM là đg cao ứng vs AN

=> \(\Delta ABN\) cân tại B( Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs một cạnh, đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đó thì tam giác đó là tam giác cân)

=> BA=BN và BM là phân giác của góc B

=> BN là bán kính của (B)

Xét \(\Delta ABFvà\Delta NBFcó:\)

BA=BN( c/m trên)

\(\widehat{ABF}=\widehat{NBF}\)(BM là phân giác của \(\widehat{B}\))

BF là cạnh chung

=> \(\Delta ABF=\Delta NBF\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{A}=\widehat{N}\)( 2 góc tương ứng). Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> \(\widehat{N}=90^o\) => \(BN\perp NF\) tại N

Xét đg tròn (B;BN) có: BN\(\perp\)NF tại N( c/m trên)

=> NF là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)

d) Xét \(\Delta NBF\) vuông tại N(\(\widehat{N}=90^o\)) có:

\(NB^2=BM.BF\) (3)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mặt khác \(NB^2+NF^2=BF^2\)(Định lý Pytago)

=> \(NB^2=BF^2-NF^2\) (4)

Từ (3) và (4) => \(BM.BF=BF^2-NF^2\)(cùng =\(NB^2\))