Lời giải:

Ta có:

\(m^3(x-2)-8(x+m)=4m^2\)

\(\Leftrightarrow x(m^3-8)=2m^3+4m^2+8m\)

\(\Leftrightarrow x(m-2)(m^2+2m+4)=2m(m^2+2m+4)\)

\(\Leftrightarrow (m^2+2m+4)[x(m-2)-2m]=0\)

\(\Leftrightarrow x(m-2)-2m=0\) (do \(m^2+2m+4=(m+1)^2+3>0\forall m\) )

Để PT có nghiệm duy nhất thì \(m-2\neq 0\Leftrightarrow m\neq 2\) (1)

Khi đó nghiệm của PT là: \(x=\frac{2m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow 2+\frac{4}{m-2}\leq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{m-2}\leq -1\)

\(0> m-2\geq -4\Leftrightarrow 2> m\geq -2\) (2)

Vậy kết hợp (1)(2) suy ra \(2> m\geq -2\)

giúp mik đc ko, mikk cần gấp

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+mx=2+m\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=m+2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=m-mx=m-m\cdot\dfrac{m+2}{2m-1}=m-\dfrac{m^2+2m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=\dfrac{2m^2-m-m^2-2m}{2m-1}=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Để x+y>0 thì \(\dfrac{m+2}{2m-1}+\dfrac{m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2+m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

mà \(m^2-2m+2>0\forall m\)

nên 2m-1>0

\(\Leftrightarrow2m>1\)

hay \(m>\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+y>0 thì \(m>\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mx-x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2mx-x=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

Hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=m-m.\dfrac{2+m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x; y) = ...

Ta có: x + y > 0

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(m-1\right)^2+1}{2m-1}\) > 0

\(\Leftrightarrow\) 2m - 1 > 0 (vì (m - 1)² + 1 > 0 với mọi m)

\(\Leftrightarrow\) 2m > 1

\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{1}{2}\)

Kết hợp với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) ta có: m > \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y > 0

Vậy m > \(\dfrac{1}{2}\)

Chúc bn học tốt! (Chắc đúng :D)

a, Phương trình có hai nghiệm khi 

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=-m^2+4\ge0\Leftrightarrow-2\le m\le2\)

b, Theo định lí Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\dfrac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)

\(=\left|m^2-2-m-4\right|\)

\(=\left|\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right|\)

\(=\left|-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\right|\le\dfrac{25}{4}\)

\(maxA=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)