a, Áp dụng hệ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền trong các tam giác vuông HCD và HCE ta có CD.CM = CE.CN (= C H 2 )

b, Sử dụng a) để suy ra các tỉ lệ về cạnh bằng nhau. Từ đó chứng minh được ∆ CMN:CDE(c-g-c)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCHD vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:

\(CD\cdot CM=CH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCHE vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền CE, ta được:

\(CE\cdot CN=CH^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(CD\cdot CM=CE\cdot CN\)

b: Ta có: \(CD\cdot CM=CE\cdot CN\)

nên \(\dfrac{CM}{CE}=\dfrac{CN}{CD}\)

Xét ΔCMN và ΔCED có 

\(\dfrac{CM}{CE}=\dfrac{CN}{CD}\)

\(\widehat{MCN}\) chung

Do đó: ΔCMN\(\sim\)ΔCED

a: Xét ΔCDI vuông tại I và ΔEDC vuông tại C có

góc D chung

=>ΔCDI đồng dạng với ΔEDC

Xét ΔECD vuông tại C có CI là đường cao

nên EC^2=EI*ED
b: Xét ΔECD vuông tại C có CI là đường cao

nên CI^2=IE*ID

c: góc CNM=90 độ-góc CDN

góc CMN=góc IMD=90 độ-góc EDN

mà góc CDN=góc EDN

nên góc CNM=góc CMN

=>ΔCMN cân tại C

Bài 1 :

Có : \(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\Rightarrow AB=5k;AC=6k\) ( k \(\in N\) )

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(12^2=\left(5k\right)^2+\left(6k\right)^2\)

\(12^2=61k^2\)

\(\frac{144}{61}=k^2\Rightarrow k=\frac{12\sqrt{61}}{61}\) cm

Có AB = 5k = \(\frac{60\sqrt{61}}{61}\) cm

AC = 6k = \(\frac{72\sqrt{61}}{61}cm\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH

=> \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{300}{61}\) cm

Có : CH = BC - BH = \(\frac{432}{61}cm\)

Bài 2:

Xét \(\Delta\)CHD vuông ta có:

\(CH^2=CM.CD\)

Xét \(\Delta CHE\) vuông ta có:

\(CH^2=CN.CE\)

=> \(CH^2=CM.CD=CN.CE\)

Bài 2b:

Theo ý a CM.CD=CN.CE

=> \(\frac{CM}{CE}=\frac{CN}{CD}\)

Xét \(\Delta CMN\) và \(\Delta CED\) có:

\(\widehat{C}\) chung

\(\frac{CM}{CE}=\frac{CN}{CD}\)

=>\(\Delta CMN\sim\Delta CED\)

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔAHE vuông tại E có 

\(\widehat{BAH}\) chung

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔAHE(g-g)

b) Xét ΔAEH vuông tại E và ΔHEB vuông tại E có 

\(\widehat{EAH}=\widehat{EHB}\left(=90^0-\widehat{EBH}\right)\)

Do đó: ΔAEH\(\sim\)ΔHEB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{EA}{EH}=\dfrac{EH}{EB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(HE^2=AE\cdot BE\)(đpcm)

d) Xét tứ giác AEHD có 

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{ADH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHD là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)(hai góc cùng nhìn cạnh HD)(Đpcm)

a,b: Xét ΔOIB vuông tạiI và ΔOKC vuông tại K có

góc IOB=góc KOC

=>ΔOIB đồng dạng vơi ΔOKC

=>OI/OK=OB/OC

=>OI*OC=OK*OB

c: Xét ΔBOH vuông tại H và ΔBCK vuông tại K có

góc OBH chung

=>ΔBOH đồng dạng với ΔBCK

d: Xét ΔCHO vuông tại H và ΔCIB vuông tại I có

góc HCO chung

=>ΔCHO đồng dạng với ΔCIB

=>CH/CI=CO/CB

=>CH*CB=CI*CO

ΔBOH đồng dạng với ΔBCK

=>BO/BC=BH/BK

=>BO*BK=BH*BC

BO*BK+CO*CI=BH*BC+CH*BC=BC^2