\(...\Leftrightarrow\dfrac{x+y+1}{6xy}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow x+y+1=xy\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3;y=2\\x=2;y=3\end{matrix}\right.\)

Mình biến đổi nhầm. Nhưng theo hướng đó bạn có thể làm cách khác.

Quy đồng mẫu

X+Y=XY-1=a

X và Y và 2 nghiệm dương của pt

X²-ax+a+1

Để pt có nghiệm nguyên thì

Delta phải chính phương 

<=> a²-4a-4=K²<=> -8=(K-a+2).(k+a-2)

Tìm ước dể rồi nhé

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5}{2y+1}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5.2}{2y.2+1.2}=\dfrac{4}{6}\)(vì 2y + 1 là số lẻ)

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\)

Để \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\)thì y = 1 để cùng mẫu số

Khi đó ta có\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\) = \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4+2}=\dfrac{4}{6}\) = \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{6}=\dfrac{4}{6}\)

Vì 4+10 = 14 => x = 14

Vậy y = 1; x = 14

\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\)=>\(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{3}\)

=>3(x+y)=xy

=>3x+3y=xy

=>3x=xy-3y

=>3x=y(x-3)

=>y=\(\dfrac{3x}{x-3}\)

* Vì y nguyên nên 3x ⋮ x-3 

=>3(x-3)+9 ⋮x-3

=>9 ⋮ x-3

=>x-3∈Ư(9)

=>x-3∈{1;-1;3;-3;9;-9}

=>x∈{4;2;6;0;12;-6} mà x nguyên dương và x khác 0 nên x∈{4;2;6;12}

=>y∈{12;-6;6;4} mà y nguyên dương nên y∈{12;6;4}

=>x∈{4;6;12}

- Vậy x=4 thì y=12 ; x=6 thì y=6 ; x=12 thì y=4.

\(VT^2\le3\left(\dfrac{1}{2x^2+y^2+3}+\dfrac{1}{2y^2+z^2+3}+\dfrac{1}{2z^2+x^2+3}\right)\)

Mặt khác:

\(\dfrac{1}{2\left(x^2+1\right)+y^2+1}\le\dfrac{1}{4x+2y}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+x+y}\right)\le\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x-y}\left(ĐK:x>0;y>0\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{y-x}{xy}=\dfrac{1}{x-y}\)

\(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x-y\right)=xy\)

\(\Rightarrow-\left(x-y\right)^2=xy\) \(^{\left(1\right)}\)

Vì x, y nguyên dương khác nhau và khác 0 ⇒ \(xy>0 \) \(^{\left(2\right)}\)

Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2>0\forall x;y\in Z;x\ne y\)

\(\Rightarrow-\left(x-y\right)^2< 0\forall x;y\in Z;x\ne y\)  \(^{\left(3\right)}\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) \(\Rightarrow\) Không tìm được hai số x, y nguyên dương khác nhau thoả mãn yêu cầu đề bài.

#\(Urushi\)

\(a,\dfrac{x}{5}=\dfrac{-18}{10}\\ \Rightarrow x=-\dfrac{18}{10}.5\\ \Rightarrow x=-9\\ b,\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{-3}{7}\\ \Rightarrow6.7=-3\left(x-1\right)\\ \Rightarrow42=-3x+3\\ \Rightarrow42+3x-3=0\\ \Rightarrow3x+39=0\\ \Rightarrow3x=-39\\ \Rightarrow x=-13\\ c,\dfrac{y-3}{12}=\dfrac{3}{y-3}\\ \Rightarrow\left(y-3\right)^2=36\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-2=6\\y-2=-6\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=8\\y=-4\end{matrix}\right.\)

\(d,\dfrac{x}{25}=\dfrac{-5}{x^2}\\ \Rightarrow x^3=-125\\ \Rightarrow x^3=\left(-5\right)^3\\ \Rightarrow x=-5\)

a,\(\dfrac{6}{2x+1}=\dfrac{2}{7}\)

⇒\(\dfrac{6}{2x+1}=\dfrac{6}{21}\)

⇒\(2x+1=21\)

\(2x=21-1\)

\(2x=20\)

⇒\(x=10\)

Ta có :

\(\dfrac{1}{3x+3y+2z}=\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(2y+x+z\right)}\)(1)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y+x+z}+\dfrac{1}{y+x+y+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)

tương tự với hai ông còn lại sau đó cộng lại ta được:

\(\Sigma\dfrac{1}{3x+3y+2z}\le\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\)

x = 6; y=2