Giả sử x, y là nghiệm của hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
Xác định a để xy là nhỏ nhất
Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)Tìm a để tích xy nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\\left(x+y\right)^2-2xy=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\2xy=\left(2a-1\right)^2-\left(a^2+2a-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}\end{matrix}\right.\)
Hệ pt đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge4\left(\frac{3a^2-6a+4}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge6a^2-12a+8\)
\(\Leftrightarrow2a^2-8a+7\le0\Rightarrow\frac{4-\sqrt{2}}{2}\le a\le\frac{4+\sqrt{2}}{2}\)
Khi đó: \(f\left(a\right)=xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}=\frac{3}{2}a^2-3a+2\)
Xét \(f\left(a\right)\) trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)
\(\frac{3}{2}>0;\) \(\frac{3}{2.\frac{3}{2}}=1< \frac{4-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)_{min}=f\left(\frac{4-\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{11-6\sqrt{2}}{4}\)
Giả sử x, y là nghiệm duy nhất của hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
Xác định a để xy là nhỏ nhất
p/s: min xy không phải là \(\dfrac{1}{2}\)
giúp em với @Akai Haruma Võ Đông Anh Tuấn Nguyễn Huy Tú Nguyễn Huy Thắng
Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ PT:
\(\hept{\begin{cases}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2-2a-3\end{cases}}\)
Xác định a để tích xy nhỏ nhất.
Từ phương trình trên , suy ra :
\(\left(2a-1\right)^2=\left(a^2-2a-3\right)+2xy\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1=\left(a^2-2a-3\right)+2xy\)
\(\Leftrightarrow3a^2-2a+4=2xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2-\frac{2}{3}a+\frac{4}{3}\right)=2xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}\right)+\frac{11}{3}=2xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{11}{3}=2xy\)
Nhận thấy \(VT\ge\frac{11}{3}\)suy ra \(2xy\ge\frac{11}{3}\) => \(xy\ge\frac{11}{6}\)
Vậy Min(xy) = 11/6 <=> a = 1/3
Cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}ax-y=a^2-2\\\left(a+1\right)x+ay=2a-1\end{matrix}\right.\)
Tìm a để hệ PT có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa P= xy đạt GTLN
1.Cho hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=2m+1\\xy\left(x+y\right)=m^2+m\end{matrix}\right.\)
CMR: hpt luôn có nghiệm mọi x
Xác định m để hpt có no duy nhất
2. Tìm liên hệ của a;b để hệ sau có nghiệm
a)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\\xy=b\end{matrix}\right.\) b)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{matrix}\right.\)
3.Cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=a^2-2\\x+y=2a-3\end{matrix}\right.\)
Gọi (x;y) là no của hệ, xác định a để xy đạt gtnn
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
giá trị của a sao cho hệ có nghiệm (x;y)và x*y nhỏ nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=\left(2a+1\right)^2\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2xy=4a^2+4a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-2a+3+2xy=4a^2+4a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{3a^2+6a-2}{2}\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(xy=\frac{3a^2+6a-2}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+2a+1\right)-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\left(a+1\right)^2-\frac{5}{2}\ge-\frac{5}{2}\)
\(Min=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow a+1=0\Leftrightarrow a=-1\)
Bài 1: Cho hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3\end{cases}}\)
Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ phương trình. Xác định a để xy đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 2: Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\left(c+a\right)y+\left(a+b\right)z-\left(b+c\right)x=2a^3\\\left(a+b\right)z+\left(b+c\right)x-\left(c+a\right)y=2b^3\\\left(b+c\right)x+\left(c+a\right)y-\left(a+b\right)z=2c^3\end{cases}}\)
Đặt S=x+y, P=x.y
Ta có:S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3
\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)
Trước hết tìm a để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm:S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0
\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2} (1)
Tìm a để P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
[2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]
Ta có hoành độ đỉnh a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó \min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với a=2-\frac{\sqrt{2}}{2} thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
cho hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)\) thỏa mãn \(x+y\)>0
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+mx=2+m\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=m+2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=m-mx=m-m\cdot\dfrac{m+2}{2m-1}=m-\dfrac{m^2+2m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=\dfrac{2m^2-m-m^2-2m}{2m-1}=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Để x+y>0 thì \(\dfrac{m+2}{2m-1}+\dfrac{m^2-3m}{2m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2+m^2-3m}{2m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)
mà \(m^2-2m+2>0\forall m\)
nên 2m-1>0
\(\Leftrightarrow2m>1\)
hay \(m>\dfrac{1}{2}\)
Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+y>0 thì \(m>\dfrac{1}{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mx-x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2mx-x=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)
Hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)
Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=m-m.\dfrac{2+m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x; y) = ...
Ta có: x + y > 0
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(m-1\right)^2+1}{2m-1}\) > 0
\(\Leftrightarrow\) 2m - 1 > 0 (vì (m - 1)2 + 1 > 0 với mọi m)
\(\Leftrightarrow\) 2m > 1
\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{1}{2}\)
Kết hợp với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) ta có: m > \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y > 0
Vậy m > \(\dfrac{1}{2}\)
Chúc bn học tốt! (Chắc đúng :D)
giả sử (x0,y0) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=25\\x+y-xy=-5\end{matrix}\right.\)