a) Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{FAE}=90^0\)

\(\widehat{AFH}=90^0\)

\(\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ΔEHB vuông tại E(gt)

mà EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HB(N là trung điểm của HB)

nên \(EN=\dfrac{HB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

a) Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), M∈AB, N∈AC)

\(\widehat{AMH}=90^0\)(HM⊥AB)

\(\widehat{ANH}=90^0\)(HN⊥AC)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\cdot8}{2}=24\left(cm^2\right)\)(1)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=AH\cdot\dfrac{10}{2}=5\cdot AH\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(5\cdot AH=24\)

hay AH=4,8cm

Ta có: AMHN là hình chữ nhật(cmt)

nên AH=MN(Hai đường chéo trong hình chữ nhật AMHN)

mà AH=4,8cm(cmt)

nên MN=4,8cm

Vậy: MN=4,8cm

a) Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)

\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒AH=EF(Hai đường chéo trong hình chữ nhật AEHF)

a)

Xét tứ giác APHQ có:

\(\widehat{A}=\widehat{P}=\widehat{H}=90^o\)

=> AHPQ  là hình chữ nhật vì có 

b)

Theo đề có K là trung điểm của HC

=> QK là đường trung tuyến của `ΔQHC`

=> `QK=HK=KC`

`QK=HK`=> `ΔKQH` là tam giác cân tại `K`

$HaNa$♬

a, Xét \(\Delta ABC\) có:

\(BC^2=\left(5a\right)^2=25a^2\)

\(AB^2+AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A ( ĐL Pytago đảo )

Xét tứ giác \(AEHF\)có 

\(\widehat{EAF}=90^0\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AEH}=90^0\left(HE\perp AB\right)\)

\(\widehat{AFH}=90^0\left(HF\perp AC\right)\)

\(\Rightarrow AEHF\)là hình chữ nhật (DHNB)

b, Xét \(\Delta AHB\), \(\widehat{AHB}=90^0,HE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (1)

Xét \(\Delta AHC\), \(\widehat{AHC}=90^0,HF\perp AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

Từ (1) (2) ta có \(AE.AB=AF.AC\)

                    \(\Leftrightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\)có 

\(\widehat{A}\) chung 

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\infty\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)

c, Ta có \(EH\perp AB\), \(AC\perp AB\) \(\Rightarrow EH//AC\)(từ vuông góc đến song song)

             \(FH\perp AC\), \(AB\perp AC\)  \(\Rightarrow FH//AB\)(từ vuông góc đén song song)

 -Xét ΔBEH vg tại E có EM là trung tuyến

=> \(ME=MH=MB=\frac{1}{2}BH\)

=> Δ MEH cân tại M

=> \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) mà \(\widehat{MHE}=\widehat{BCA}\) ( đồng vị - EH//AC)

=> \(\widehat{MEH}=\widehat{BCA}\) (1)

- Ta có: \(\widehat{HEF}=\widehat{HAF}\) (t/c HCN)

\(\widehat{HAF}+\widehat{BCA}=90^0\)

=> \(\widehat{HEF}+\widehat{BCA}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) =>\(\widehat{MEH}+\widehat{HEF}=90^0\) hay ME⊥EF (*)

+ Tương tự ta có: NF⊥EF (**)

Từ (*) và (**) => EM//FN => MEFN là hình thang

Mặt khác có: \(\widehat{MEF}=\widehat{EFN}=90^0\) (CMT)

=> MEFN là hình thang vuông( đpcm)

Ta có \(S_{EMNF}=\frac{1}{2}.\left(EM+FN\right).EF\)

Mà \(EM+FN=\frac{BH}{2}+\frac{CH}{2}=\frac{BH+CH}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{5a}{2}=2,5a\)

  Xét \(\Delta ABC\), \(\widehat{BAC}=90^0,AH\perp BC\)có 

\(AB.AC=AH.BC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )

\(\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3a.4a}{5a}=2,4a\)

\(\Rightarrow S_{EMNF}=\frac{1}{2}\times2,5a\times2,4a=3a^2\)

Lời giải:
a. Tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông: $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên là hình chữ nhật.

b. Vì $I, H$ đối xứng với nhau qua $E$ nên $E$ là trung điểm của $IH$

Xét tam giác $AIE$ và $AHE$ có:

$AE$ chung

$IE=EH$ (do $E$ là trung điểm $IH$)

$\widehat{AEI}=\widehat{AEH}=90^0$

$\Rightarrow \triangle AIE=\triangle AHE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{HAE}(1)$

Tương tự: $\triangle AHF=\triangle AKF$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{KAF}=\widehat{HAF}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{IAE}+\widehat{KAF}+\widehat{BAC}=\widehat{HAE}+\widehat{HAF}+\widehat{BAC}$

Hay $\widehat{IAK}=\widehat{BAC}+\widehat{BAC}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow I,A,K$ thẳng hàng.