a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

b: Xét ΔAED có AH/AE=AM/AD

nên HM//ED

=>ED//CB

Xet ΔCAE có

CH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔCAE can tại C

=>CA=CE=BD

Vì BC//ED và BD=CE
nên BCDE là hình thang cân

c: Xét tứ giác AHCK có

N là trung điểm chung của AC và HK

góc AHC=90 độ

=>AHCK là hình chữ nhật

Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD

Hay AM // BC và AM = AD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN

Hay AN // BC và AN = AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng

Và AM = AN nên A là trung điểm của MN

Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.

a: Xét tứ giác ABDC có 

I là trung điểm của đường chéo BC

I là trung điểm của đường chéo AD

Do đó: ABDC là hình bình hành

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABDC là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADCB có

M là trung điểm của đường chéo AC

M là trung điểm của đường chéo BD

Do đó: ADCB là hình bình hành

Suy ra: AD//BC và AD=BC

Xét tứ giác AEBC có 

N là trung điểm của đường chéo AB

N là trung điểm của đường chéo CE

Do đó: AEBC là hình bình hành

Suy ra: AE//BC và AE=BC

Ta có: AD//BC

AE//BC

mà AD và AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE(=BC)

nên D và E đối xứng nhau qua A

a: góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC nội tiếp

b: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ABC+90 độ-góc ACB

=góc BAC

=>góc BHC=180 độ-góc BAC

=>góc BHC+góc BAC=180 độ

H đối xứng M qua BC

=>BH=BM và CH=CM

Xét ΔBHC và ΔBMC có

BH=BM

HC=MC

BC chung

=>ΔBHC=ΔBMC

=>góc BMC=góc BHC

=>góc BMC+góc BAC=180 độ

=>ABMC nội tiếp

c: Xét tứ giác BHCN có

BC cắt HN tại trung điểm của mỗi đường

=>BHCN là hìnhbình hành

=>góc BHC=góc BNC

=>góc BNC+góc bAC=180 độ

=>ABNC nội tiếp

a) Xét tứ giác AHCE có:

+ D là trung điểm của AC (gt).

+ D là trung điểm của HE (do E đối xứng với H qua D).

=> Tứ giác AHCE là hình bình hành (dhnb).

Mà ^AHC = 90^o (AH vuông góc BC).

=> Tứ giác AHCE là hình chữ nhật (dhnb).

Xét tứ giác AHBN có:

+ M là trung điểm của AB (gt).

+ M là trung điểm của  HN (do N đối xứng với H qua M).

=> Tứ giác AHBN là hình bình hành (dhnb).

Mà ^AHB = 90^o (AH vuông góc BC).

=> Tứ giác AHBN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật (cmt).

=> AE // HC (Tính chất hình chữ nhật).

Xét tứ giác AEHI có:

+ AE // IH (do AE // HC).

+ AI // EH (gt).

=> Tứ giác AEHI là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: AE = IH (Tứ giác AEHI là hình bình hành).

Mà AE = HC (Tứ giác AHCE là hình chữ nhật).

=> IH = HC.

=> H là trung điểm IC.

Xét tứ giác CAIK có:

+ H là trung điểm của IC (cmt).

+ H là trung điểm của AK (AH = HK).

=> Tứ giác CAIK là hình bình hành (dhnb).

Mà AK vuông góc IC (do AH vuông góc BC).

=> Tứ giác CAIK là hình thoi (dhnb).

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

góc A chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔACE

=>AB/AC=AD/AE

=>AB*AE=AC*AD

b: Gọi giao của HK với BC là N

=>N là trung điểm của HK

Xét ΔHKM có HN/HK=HI/HM

nên NI//KM

=>KM//BC

C nằm trên trung trực của HK

=>CH=CK

Xét tứ giác BHCM có

I là trung điểm chung của BC và HM

=>BHCM làhbh

=>BM=CH=CK

=>BKMC là hình thang cân