G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:

$\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}$ vì $\frac{GH}{DG}=\frac{2}{3}$

nên $\frac{DH-GH}{DH}=\frac{3-2}{3}$

Tức là: $\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}$

GH/DH=1/3

Do trắc nghiệm nên ta chỉ cần xét trường hợp đặc biệt nhất: đường thẳng này đi qua B, khi đó M trùng B và N là trung điểm AC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

Đồng thời do \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) nên đáp án D đúng

Câu 1:

$A+2=\frac{2}{2-x^2}+\frac{2}{x^2+1}=2(\frac{1}{2-x^2}+\frac{1}{x^2+1})$

$\geq 2.\frac{4}{2-x^2+x^2+1}=\frac{8}{3}$ (áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz)

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{2}{3}$ khi $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Mặt khác:

\(A-1=\frac{2(x^2-1)}{2-x^2}+\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{3x^2(x^2-1)}{(2-x^2)(x^2+1)}\leq 0\) với mọi $0\leq x\leq 1$

$\Rightarrow A\leq 1$

Vậy $A_{\max}=1$ khi $x=0$ hoặc $x=1$

Lời giải:

Gọi cạnh hình vuông là $a$

a) Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông sau:

Tam giác $ADM$: $AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$

$AH=\sqrt{AB^2+BH^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}a(1)$

$AB\parallel DM$ nên theo định lý Talet:

$\frac{AN}{NM}=\frac{AB}{DM}=2$

$\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow AN=\frac{\sqrt{5}}{3}a(2)$

Mặt khác:

$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{DM}=2=\frac{BK}{KC}$ nên $NK\parallel DC$ (theo Talet đảo)

$\Rightarrow NK\perp BC$

$\frac{NK}{DC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow NK=\frac{2}{3}a$

Áp dụng định lý Pitago: $NH=\sqrt{NK^2+KH^2}=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}a(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ kết hợp Pitago đảo suy ra $ANH$ vuông cân tại $N$.

b) 

Cho $AC$ cắt $NK$ tại $Q$

Theo định lý Talet:

$\frac{NQ}{MC}=\frac{AQ}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{1}{3}(4)$

$\frac{QK}{a}=\frac{QK}{AB}=\frac{KC}{BC}=\frac{1}{3}(5)$

Từ $(4);(5)\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{QK}{a}$

$\Rightarrow NQ=QK$ nên $Q$ là trung điểm $NK$

Do đó ta có đpcm.

Hình vẽ:

D 

Chọn D

Chọn D

Vì `G` là trọng tâm của tam giác

`@` Theo tính chất của trọng tâm (cách đỉnh `2/3,` cách đáy `1/3`)

`-> GA = 2GM, GA= 2/3 AM`

Xét các đáp án trên `-> D.`

\(D\)

D

Lời giải:

Kéo dài $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Kẻ $KK'\perp d$

Trên $BG$ lấy trung điểm $I$. Kẻ $II'\perp d$

Vận dụng công thức đường trung bình trong hình thang ta có:

Xét hình thang $BGG'B'$ có đtb $II'$ thì:

$II'=\frac{BB'+GG'}{2}(1)$

Xét hình thang $AA'C'C$ có đường trung bình $KK'$ thì:

$KK'=\frac{AA'+CC'}{2}(2)$

Xét hình thang $II'KK'$ có đường trung bình $GG'$ thì:

$GG'=\frac{II'+KK'}{2}(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra:

$GG'=\frac{BB'+GG'+AA'+CC'}{4}$

$\Rightarrow GG'=\frac{AA'+BB'+CC'}{3}$ 

Ta có đpcm.

Hình vẽ: