Question

Cho \(\Delta ABC\) có G là trọng tâm . Vẽ đường thẳng d không giao \(\Delta ABC\) . Trên d gọi \(A',B',C',G'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B,C,G\) . Chứng minh rằng \(GG'=\dfrac{AA'+BB'+CC'}{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Kéo dài $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Kẻ $KK'\perp d$

Trên $BG$ lấy trung điểm $I$. Kẻ $II'\perp d$

Vận dụng công thức đường trung bình trong hình thang ta có:

Xét hình thang $BGG'B'$ có đtb $II'$ thì:

$II'=\frac{BB'+GG'}{2}(1)$

Xét hình thang $AA'C'C$ có đường trung bình $KK'$ thì:

$KK'=\frac{AA'+CC'}{2}(2)$

Xét hình thang $II'KK'$ có đường trung bình $GG'$ thì:

$GG'=\frac{II'+KK'}{2}(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra:

$GG'=\frac{BB'+GG'+AA'+CC'}{4}$

$\Rightarrow GG'=\frac{AA'+BB'+CC'}{3}$ 

Ta có đpcm.

Answer 2

Hình vẽ: